Lo que no se puede contar

Con esta entrada, Juan de Pedazos de Carbono despide la divertida serie acerca de los números, al menos por ahora. Esta vez nos explica cómo es posible que algunos infinitos sean más grandes que otros. --

Nuestro trayecto ha sido largo, pero espero que hasta el momento les haya parecido también algo interesante y quizá hasta divertido. Desde una noción tan básica cómo el simple acto de contar—contar borregos, contar deudas, contar pedazos de pizza—hemos llegado hasta contar grupos de cosas que nunca se terminan. Así fue como contamos también la historia del Hotel Hilbert, y su interminable cantidad de habitaciones en las que se pueden hospedar no sólo a tantos huéspedes cómo números naturales hay; sino también a una cantidad infinitamente igual de grande de autobuses, cada uno de ellos con su respectiva infinita de pasajeros.

Lo que ocurrió después es, sin embargo, algo que no se puede contar. Yo me estoy arriesgando, de hecho, al compartir esta historia con ustedes. Pues resulta que, a pesar de su tremendo éxito y de su—aparentemente—inagotable capacidad, un día llegó con un reto mucho más difícil de superar para el Hotel Hilbert. Algo que ni las mentes más brillantes de la historia fueron capaces de anticipar.

El protagonista de este suceso fue un personaje con el nombre de Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor. Nacido en la ciudad de St. Petersburgo, desde pequeño se mudó a Fráncfort, Alemania, donde se convirtió en un emprendedor de diversas áreas de matemáticas como la teoría de conjuntos, sus fundamentos teóricos, y—sobre todo—sus aplicaciones para incrementar las ventas en agencias de viajes.

Georg Cantor, un inovador en el mercado de las agencias de viajes

La Agencia de Viajes Cantor se convirtió en su tiempo, de hecho, en una de las más exitosas empresas; ofreciendo sus servicios para llenar infinitas cantidades de autobuses con infinitas cantidades de personas para trasladarlas y hospedarlas en infinitas cantidades de habitaciones en el Hotel Hilbert.

Motivado por su éxito hasta el momento, y buscando expander los horizontes de su empresa, Cantor propuso el diseño y financió la construcción de un nuevo vehículo para pasajeros. Desde su exterior, el Autobús Cantor se parece a un autobús como cualquier otro. Con una parte delantera, donde se sienta el chofer para conducirlo, y una parte trasera, donde se suele colocar una llanta de refracción.

Desde su exterior, el Autobús Cantor parece ser bastante ordinario

Pero es el interior del autobús el que es realmente interesante. En lugar de numerar los asientos comenzando por el uno, luego el dos, etc.; cada uno de la infinidad de asientos en su anterior está identificado por una larga e infinita secuencia de letras. Así es como se ve, por ejemplo, un boleto para subir al autobús:

Los boletos del autobús son, de hecho, infinitamente largos

Se puede abordar al autobús por una gran puerta en la parte central por uno de sus costados, y en su interior se encuentra una gruesa lámina que separa a la parte delantera de la trasera del autobús. Entonces, cada pasajero puede mirar a su—necesariamente—infinitamente largo boleto de entrada, para encontrar la parte del autobús que le corresponde a su asiento. Si la primera es una letra ‘D’, sabe que su asiento se encuentra en la mitad delantera del autobús, y puede entrar a esa sección. Luego el pasajero se encuentra con otra nueva lámina que separa a esta sección en otras dos partes más pequeñas. Ya que la segunda letra de su boleto es una ‘T’, sabe que—dentro de esta sección—su asiento se encuentra en la mitad más cercana a la parte trasera. Y así sucesivamente el pasajero puede ir leyendo las letras que identifican al asiento en la parte delantera o trasera de cada sección hasta que, en el límite, se encontrará justa y precisamente con su asiento asignado.

Así es como buscas tu asiento dentro del Autobús Cantor

Parece una configuración quizá un poco confusa o complicada, pero es bastante conveniente ya que permite acomodar muy bien a las personas dentro del autobús, dándoles además una privacidad total. Aún si tienes dos números de asientos muy parecidos, pero con por lo menos una letra distinta, sabes que esos dos asientos se encuentran—necesariamente—en distintos compartimentos del autobús. Además, desde su primer viaje el esfuerzo de Cantor fue recompensado en creces, pues no tuvo problema en encontrar turistas entusiastas que llenaron por completo el autobús; todos felices y dispuestos a disfrutar de sus vacaciones en el afamado Hotel Hilbert.

“¡Pero qué clase de cantidades infinitas son estas?”, exclamó el recepcionista del hotel al ver arribar una múltiplemente infinita cantidad de caritas sonrientes asomándose por las ventanillas al costado del autobús. El responsable de la agencia de viajes bajó entonces del autobús, y preguntó al aún estupefacto recepcionista del hotel si sería tan amable de asignar, por favor, un número de habitación para cada uno de sus pasajeros.

Múltiplemente infinitas caritas sonrientes se asoman de las ventanillas en el Autobús Cantor

Hecho pomada, y después de una enorme cantidad de intentos fallidos, el recepcionista finalmente produjo lo que—le parecía—era una asignación completa en la que a cada habitación le correspondía uno de los pasajeros en el autobús, sin dejar a persona alguna sin su propia habitación. Para cerciorarse llevó su lista con Hilbert, quien le ayudaría a corroborar que no había cometido ningún error. La lista, de hecho, comenzaba más o menos así:

Así comenzaba una lista asignando un número de habitación a cada pasajero del autobús

Después de analizar la lista por un momento, Hilbert exclamó, “¡Algo esta mal! ¡Hay un pasajero que no encuentro en la lista!”. Entonces explicó que si nos fijamos en la primera letra del pasajero en la primera habitación, una “D”, hay que tener cuidado de no dejar afuera a algún pasajero cuya primera letra sea la “T”. Del mismo modo, si nos fijamos en la segunda letra del pasajero en la segunda habitación, una “T”, hay que tener cuidado de no dejar fuera a alguien que allí tenga una “D”. De este modo, nos podemos fijar en la letra de cada pasajero que corresponde a su número de habitación y, al cambiar “D” por “T” y viceversa, descubrimos a un pasajero que parece escurrirse de nuestra lista:

Hilbert encuentra un pasajero que no tiene habitación asignada

Sabemos que este pasajero no es el asignado a la primera habitación, pues hay por lo menos una letra (la primera) distinta a la del pasajero que ocupa esa habitación. Este pasajero tampoco es el asignado a la segunda habitación, pues hay por lo menos una letra (la segunda) distinta a la del pasajero que ocupa esa habitación. De hecho, ¡este pasajero no está asignado a ninguna habitación! Pues para cualquier número de habitación sabemos que hay una letra (justo esa que coincide con el número de la habitación) que nuestro pasajero olvidado tiene distinta a la del pasajero que sí ocupa esa habitación en cuestión.

Lo más devastador es que, como Hilbert observó después de un momento, ¡no importa cuál sea la lista de asignaciones que genere su recepcionista! Cualquiera que sea la asignación, Hilbert podría siempre usar este mismo ejercicio (invirtiendo cada letra en la diagonal de la lista de pasajeros) para encontrar un pasajero del autobús al que no se le habría asignado un número de habitación en el Hotel.

¡La cantidad infinita de asientos en el Autobús Cantor, es más grande que la cantidad infinita de habitaciones en el Hotel Hilbert!

¡Wow! Si es la primera vez que te encuentras con esta idea, no dudes en repasarla de nuevo con calma para asegurarte de que has entendido y te sientes confortable con lo que aquí ha sucedido. Sobre todo, piensa también en lo que esto significa: ¡Cantor ha demostrado que hay infinitos más grandes que otros!

La cantidad infinita de asientos en el Autobús Cantor es tan fantásticamente grande ¡que ni siquiera se puede contar! No importa que estrategia utilices, si empiezas señalándolos con tu dedo mientras cuentas: “asiento uno”, “asiento dos”, y así sucesivamente; siempre te van a faltar asientos por contar pues ¡los números naturales no son suficientes para contar a todos los asientos!

Y, bueno, si crees que todo este es un cuento absurdo que sólo en un mundo de fantasía podría tener sentido, sólo te propongo que tomes en tus manos una regla y la mires con atención frente a tus ojos. Sí, una simple regla como la que usaste en la primaria y sobre la que, como ya aprendimos, puedes ubicar a los números reales. Ahora imagina que tu regla es un autobús y que—como Cantor ha demostrado—en esa misma regla que sostienes entre tus manos se encuentran, literalmente, una cantidad incontable de números.

Juan

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Escrito por Juan A. Navarro Pérez y publicado originalmente en Pedazos de Carbono

Bienvenidos al Hotel Hilbert

¿Cómo acomodar una infinidad de cosas en un espacio infinito? Este miércoles Juan de Pedazos de Carbono nos lo explica y nos cuenta acerca de un hotel que, aunque tenga muchísimos huéspedes, siempre tiene habitaciones disponibles. --

Hace ya un buen rato que iniciamos nuestro recorrido por la tierra de los números, familiarizándonos con especies que parecían tan exóticas como los números negativos, los quebrados, los irracionales e incluso los imaginarios y los complejos. Pero el día de hoy regresaremos a repasar esa idea básica y fundamental de la que se desprenden todos los números: la idea de contar.

¿Qué cosa es contar? Así como humanos hace 50,000 años verificaban la regularidad de los ciclos lunares, contar es la simple acción de relacionar los elementos de un grupo de cosas (puestas de sol, patos o manzanas) con los elementos de otro grupo (las marcas talladas en un hueso, piedras o panqués). Si podemos establecer esta relación entre dos grupos, sin dejar a ningún elemento huérfano ni con más de una pareja, entonces habremos determinado que ambos grupos tienen la misma cantidad de cosas.

Los números surgen entonces como nombres o “etiquetas” que les damos a todas las diferentes cantidades. Por poner un ejemplo sencillo, imaginemos la construcción de un pequeño hotel. Cuando se construye su primer cuarto, al número de habitaciones que tiene le llamamos “uno”. Cuando se construye otra habitación, obtenemos un nuevo número, distinto al anterior, que le llamamos “dos”. Así construímos más habitaciones, y obtenemos números más grandes a los que llamamos “tres”, “cuatro” y, finalmente “cinco”.

Ahora, si en el hotel sólo se admite a una persona por habitación y un día nos encontramos con que todas las habitaciones están llenas, fácilmente podemos concluir que en el hotel deben de haber también “cinco” personas hospedadas. Esto es porque si cada habitación tiene una persona, y cada persona se encuentra asignada a alguna habitación, entonces la cantidad de personas y la cantidad de habitaciones debe de ser la misma. Es bastante sencillo, ¿verdad?

Hay la misma cantidad de habitaciones y de huéspedes: cinco.

Bien, teniendo esta idea en mente, es tiempo de conocer a David Hilbert, un matemático alemán nacido en 1862 que, aparentemente, en su tiempo libre se dedicaba también a la hotelería. (Esto último es broma, pero síganme la corriente.) A Hilbert le molestaba mucho cuando llegaba a un hotel, tarde por la noche y fatigado después de un largo viaje, sólo para descubrir que el hotel estaba lleno y que no habían más habitaciones disponibles. Ésta es la razón por la cual, cansado de que la gente sufriera de esta clase de rechazos y con el apoyo de un gran número de inversionistas, Hilbert construyó un hotel infinito.

“Bienvenidos al Hotel Hilbert”, aseguran los panfletos y folletos con publicidad, “un lugar encantador, un rostro encantador. Muchas habitaciones en el Hotel Hilbert, en cualquier temporada del año, siempre puedes encontrar.” El hotel en sí—a diferencia de su competencia—no era un hotel muy lujoso. Las habitaciones eran sencillas y tenían los servicios básicos: una TV, una cama individual, un pequeño baño. Sin embargo, para realmente poder cumplir con su promesa, el hotel tenía una cantidad infinita de habitaciones, numeradas comenzando por la “uno”, luego la “dos”, luego la “tres”, ... y así, agregando siempre uno más al número de la habitación anterior. Además, igual como le dimos el nombre “cinco” a la cantidad de habitaciones que tenía el hotel pequeño, diremos que la cantidad de habitaciones que tiene el Hotel Hilbert es “omega”.

El Hotel Hilbert tiene omega habitaciones, numeradas comenzando por el uno.

Bueno, pues así pasaron los días, con huéspedes contentos entrando y saliendo del hotel sin nunca preocuparse por si encontrarían alguna habitación disponible. Todo iba perfecto hasta que un día—no me pregunten cómo—el hotel se había llenado por completo. El recepcionista revisaba y confirmaba en los registros que, en efecto, cada habitación estaba registrada al nombre de una persona distinta. Y justo al levantar la vista, todavía un poco incrédulo de la situación, se encontró con que un nuevo huésped caminaba hacia la entrada del Hotel Hilbert.

“¡Oh, no! ¿Pero qué vamos a hacer?”, el recepcionista preocupado llamó inmediatamente a Hilbert para que lo ayudara a resolver la situación. Después de todo, ¿habría que decirle al cliente que no habían ya habitaciones disponibles?

Hilbert escucho las historia del recepcionista, reflexionó por un momento, y finalmente exclamó: “¡No hay ningún problema! Lo único que tenemos que hacer es”, explicó, “pedir a cada huésped que se mueva a la siguiente habitación. El de la habitación 1 se irá a la 2, el de la 2 se irá a la 3, y así sucesivamente. Todos los huéspedes que ya estaban en el hotel seguirán teniendo una habitación y, además, ¡la primera habitación estará vacía para recibir al nuevo huésped!”

Moviendo a cada huésped un lugar a la derecha, se libera la primera habitación

A diferencia de lo que que ocurre cuando tienes un grupo de “cuatro” cosas y le agregas otra para obtener un número diferente, el “cinco”; cuanto tienes “omega” personas registradas en un hotel, y agregas una persona más, la cantidad sigue siendo “omega”. Este es un truco bastante simpático que el recepcionista del hotel pronto aprendió a dominar. ¿Llegan “ocho” huéspedes nuevos al hotel cuando está lleno? ¡No hay problema! Sólo pides a cada huésped que se mueva ocho habitaciones a la derecha, todos siguen teniendo una habitación, y las primeras ocho habitaciones quedan disponibles para los nuevos huéspedes. A “omega” le puedes agregar cualquier otro número (finito), y el resultado sigue siendo “omega”.

Pero el recepcionista no estaba preparado para lo que ocurriría después. La popularidad del Hotel Hilbert fue tan grande, que una agencia de viajes le hizo llegar, ¡un autobús infinito cargado con omega personas!

“¡Diantres!”, pensó el recepcionista, “esto debe de ser realmente imposible, ¡donde voy a meter a tanta gente!” Hilbert, sin embargo, como siempre tomando las cosas con calma, reflexionó por un momento hasta que dio con la solución: “¡Ya lo sé! Hagamos que cada uno de los huéspedes en el hotel se vayan a la habitación cuyo número sea el doble de la habitación en la que se encuentran. Por ejemplo, el de la habitación dos se va a la cuatro; el de la tres se va a la seis. Todos los que tienen ahora una habitación seguirán teniendo una habitación, pero ahora ¡todas las habitaciones impares estarán vacías! Y allí podemos registrar a nuestros omega huéspedes nuevos.” Si a un grupo de omega personas le sumas omega nuevas personas, ¡sigues teniendo omega personas!

Los omega huéspedes anteriores, más los omega huéspedes nuevos, siguen siendo omega

Ahora sí, pensó el recepcionista, con esta nueva receta, no importa cuanta gente llegue, ¡siempre habrán lugares disponibles para ellos! ¿Que llegan cuatro autobuses repletos y cargados con omega personas? ¡Facilísimo! Que cada huésped multiplique su número de habitación por cinco (para ocupar la cinco, diez, quince, ...); dejando las habitaciones uno a cuatro libres para la primera persona de cada autobús, las habitaciones seis a nueve para la segunda persona de cada autobus, y así sucesivamente. Multiplicar cuatro, o diez, o cinco mil, por omega; sigue dando de resultado omega.

Sin embargo, parece que no era momento aún de cantar victoria. El éxito del hotel fue tan grande, que ahora las agencias de viajes les enviaban ¡omega camiones con omega personas en cada uno! “¿Si le digo a cada huésped que multiplique su número de habitación por omega? ¡No! ¡No hay ninguna habitación omega! ¡Los números en las puertas de las habitaciones son siempre finitos!”, el recepcionista intentaba diversas estrategias sin mucho éxito. “Esto es demasiado, de esta sí que no vamos a poder salir.”

Esta vez al mismo Hilbert le tomó algunos segundos descubrir la solución. Hasta que al final, con una sonrisa, enseñó a su recepcionista el siguiente diagrama que le mostraba como acomodar a todos—a los omega huéspedes que ocupaban ya el hotel, y a los omega autobuses con omega huéspedes nuevos cada uno—en el Hotel Hilbert. En la primera fila acomodó a las omega personas que ya están hospedadas, y el resto de las filas tienen a todas las nuevas personas que llegaron en los omega autobuses nuevos. Las flechas indican el orden en que se puede ir asignando un nuevo número de habitación a todo este montonal de gente. Cuando multiplicas omega por omega, ¡sigues obteniendo omega!

... cuando llegan omega autobuses con omega personas cada uno.

Los lectores avispados notarán que, de hecho, esto también demuestra que la cantidad de números quebrados es igual a omega, la cantidad de números “naturales” que hay. Esto es porque a la persona número “a” que viene en el autobús número “b” la puedes imaginar sosteniendo en sus manos un cartel con el quebrado “a entre b”. El diagrama de arriba muestra como asignar a cada quebrado un número natural. Piensen también que los quebrados eran, de hecho, no sólo infinitos “hacia arriba”, sino también “hacia adentro”: entre cualesquiera dos números, siempre existen más y más números quebrados. Piensen en lo fascinante que es eso: a pesar de ser infinitos en “tantos” sentidos, la cantidad de números quebrados sigue siendo omega.

Y bien, después de tanto éxito, parecería ser entonces que finalmente omega es “el número más grande de todos”. Al fin y al cabo omega es infinito y, no importa cuántos huéspedes más puedan llegar, dentro de este número infinito siempre será posible encontrar más y más habitaciones para hospedarlos, ¿o no?

Pues, aunque no se lo crean, resulta que la respuesta a esta pregunta será el tema de la siguiente entrega en nuestra serie. (Lo ven, les dije que esta serie no se quería acabar.)

Juan

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Escrito por Juan A. Navarro Pérez y publicado originalmente en Pedazos de Carbono

Todo es cuestión de compartir

Le compartimos la cuarta entrega de la serie acerca de los números. Una vez más, Juan de Pedazos de Carbono nos explica lo que ocurre cuando intentas hacer divisiones entre cero (no, no explota el mundo) y sobre el concepto de infinito (¡lo cual es infinítamente interesante!). --

En el Juego del Ultimátum, dos personas tratan de decidir como repartir entre ellos cierta cantidad de dinero. El primer participante decide la fracción de dinero que le toca a cada uno de los dos, y el segundo de ellos puede decidir aceptar la oferta—de modo que cada quien recibe lo acordado—o rechazarla—en cuyo caso el dinero se pierde y ninguno recibe nada. Y no hay más oportunidades o intentos. Es un Ultimátum. Esas son las reglas del juego.

Supongamos que, por ejemplo, se tienen que repartir $1,000 entre las dos personas. La primera de ellas podría sugerir quedarse con $600 y dejar $400 a la segunda, podría sugerir repartir el dinero en cantidades iguales, o podría incluso sugerir quedarse con $999 y dejar sólo $1 a la segunda persona. Según los ecónomos, la decisión “racional” para la segunda persona debería ser la de aceptar cualquier oferta donde reciba algo de dinero, pues no importa si son $600, $400 o sólo $1; cualquier cantidad es mejor que no recibir nada.

¿Aceptarías cualquier oferta?

Sin embargo, cuando este experimento se lleva a cabo realmente entre personas la teoría es muy distinta a lo que ocurre en la práctica. ¡Por supuesto que no! ¿Me vas a dar $1 mientras tú te quedas con $999? ¡Eso no es justo! La mayoría de las personas estamos más que dispuestos a sacrificar nuestra propia ganancia, con tal de ver también perder su ganancia a aquel que percibimos está siendo injusto y aprovechándose de su situación de ventaja. Más aún, esta no es una propiedad particular de los humanos, en experimentos con monos capuchinos como participantes se observan resultados similares: una tendencia a rechazar ofertas perfectamente váldas, si es que otros están obteniendo una mejor recompensa. Tenemos aversión a la desigualdad.

Y es quizá por esto también que para todos nos parece muy natural e intuitiva la idea de compartir bienes y repartirlos equitativamente en partes iguales. A diferencia de la resta y los “números negativos” que parecían tan extraños y traídos de un mundo de fantasía; difícilmente encontramos un problema en imaginar, por ejemplo, como compartir y repartir cinco panqués recién horneados entre dos personas hambrientas. Todos notamos el pequeño problema que esto supone, las unidades de panqués no se pueden repartir en dos partes iguales, pero también todos descubrimos de inmediato la solución: ¡basta con romper uno de los panqués!

Una forma de dividir cinco panqués entre dos personas

Podríamos decir que cada una de las personas recibe dos panqués y “un medio”. Realizar operaciones básicas con estos nuevos números “quebrados”, tampoco nos supone ningún problema, ya que las mismas ideas que hemos explorado antes se aplican de manera muy natural aún cuando nuestros números tienen “pedacitos” de unidades. La suma de dos números sigue siendo la simple agrupación de las cantidades que representan a ambos; igual que hay deudas de manzanas enteras, podemos quedar en deuda con fracciones de panqués; para calcular los productos podemos seguir aplicando nuestro avanzado método de formar rectángulos con ellos; además, del mismo modo que podemos dividir panqués enteros entre nuestros amigos, podemos también dividir los pedazos en fracciones más pequeñas si nos viéramos en la necesidad.

El producto obtenido al repetir “tres veces” los “dos panqués y un medio”

Sin embargo andar sumando, restando, multiplicando y dividiendo montones de pedacitos de diferentes tamaños, pronto las operaciones se vuelven un poco engorrosas. Afortunadamente, no importa cuantas operaciones realicemos, ni cuantos pedacitos de diferentes tamaños estén involucrados, siempre vamos a poder representar un número “quebrado” usando dos números que estén completos o “enteros”. El primero de ellos indica en cuantas pedazos tienes, mientras que el segundo indica cuando pedazos necesitas para formar una unidad entera.

Los quebrados se pueden escribir más fácil usando varios pedazos del mismo tamaño

Quizá pueda sonar un poco extraño, pero incluso se pueden repartir panqués o pedazos de pizza entre “media persona”. Por ejemplo, si tenemos 5 panqués y los repartimos entre “media persona”, ¿cuántos le tocan a una persona entera? La respuesta, si se lo pueden imaginar, son 10 panqués, pues a cada una de las dos “medias personas” le tocan 5 panqués. En general, podemos obtener el número de panqués a un tercio (o un cuarto, o un quinto, o ...) de persona, simplemente multiplicando el número de personas por tres (o cuatro, o cinco, o ...).

Y, aunque a veces un poco simpático, todo parece más o menos claro e intuitivo cuando se realizan operaciones aritméticas con esta nueva clase de números; todo excepto por esa pregunta incómoda que tarde o temprano se nos atraviesa en el camino: ¿qué es lo que sucede cuando dividimos por cero?

Si tengo cinco panqués y los divido entre cero personas, ¿cuantos panqués le tocan a cada persona? Y no, la respuesta no puede ser cero: si juntas los cero panqués que le repartiste a las cero personas al final no recuperas los cinco panqués con los que empezaste. A diferencia de lo que sucede cuando repartes entre dos o más personas, si juntas de nuevo todas las fracciones repartidas, recuperas la cantidad original exacta. Algunas personas simplemente buscan evitar a toda costa enfrentarse con este problema, y muy dogmáticamente ordenan: nunca dividas entre cero, simplemente no se puede, no tiene sentido.

Al dividir entre cero, algunas computadoras simplemente detienen la ejecución del programa reconociendo que ha existido un error. Algunas regresan como resultado no un número, sino un valor curiosamente llamado “no es un número” simplemente indicando que se ha llevado a cabo una operación que no está bien definida entre la clase de números con la que se está trabajando.

Algunos, un poco más aventureros, no le huyen al problema y tratan de analizarlo más a fondo. Por ejemplo, en lo que todos están más o menos de acuerdo es que cuando divides cero entre cero, lo que obtienes es cualquier número que tu quieras. Puedes decir que cero dividido entre cero es cinco y estar en lo correcto, del mismo modo que cero entre cero es menos dos o es cuatro quintos. Y esto es porque si juntas las cinco partes (o menos dos, o el número que quieras) que le repartiste a cada una de las cero personas, al final recuperas la cantidad original que tenías: cero. Esto es un poco raro, porque hasta ahora el resultado de una operación aritmética había sido siempre un número, ¡no montones de ellos!

Sin embargo el verdadero problema ocurre cuando queremos repartir cierta cantidad (no cero) de cosas entre precisamente cero personas. Entonces el argumento que presentamos en el párrafo anterior deja de funcionar. Alternativamente, una de las respuestas que se suele dar es que al dividir entre cero lo que obtienes es un número “muy, pero muy grande”. La justificación viene del hecho que discutimos sobre lo que ocurre cuando divides entre un número más y más pequeño de personas (un medio, un tercio, un cuarto, ...) que equivale a multiplicar el número original por otro número cada vez más y más grande (por dos, por tres, por cuatro, ...). “Naturalmente”, cuando divides entre el número que tiene la magnitud más pequeña de todas, el cero, ¡debes obtener un número que tiene la magnitud más grande de todas! Sin embargo, desde que aprendimos a contar nos dimos cuenta que ninguno de los números que nos hemos encontrado hasta ahora es “más grande que todos”, y es por esto que tenemos que inventar un nuevo número: el infinito.

Mas aún, los lectores avispados notarán que un argumento similar pero con números negativos nos dirá que el resultado de dividir entre cero también debe de ser un número “muy, pero muy grande, y negativo” y es por eso que debemos introducir también el “menos infinito”. El infinito, no importa que signo tenga, es un concepto tan extraño muchos se resisten a tan sólo llamarle “número”. Y es que, de entrada, parece introducir más preguntas de las que contesta: ¿Qué es lo que sucede cuando sumas infinito más cinco? ¿Cuánto es infinito más infinito? ¿¡Cuanto es infinito multiplicado por infinito!? ¿Se obtiene a caso un infinito más grande?

Estas son montones de preguntas interesantes y que, queda prometido, vamos a abordar también más adelante en nuestra serie. Por lo pronto, sin embargo, nuestro plan continua con otras dos clases de números que nos tenemos que encontrar también: los que no son racionales (sino más bien irracionales), y los que no son reales (sino más bien imaginarios).

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Escrito por Juan A. Navarro Pérez y publicado originalmente en Pedazos de Carbono