Por: Rafael Peñaloza
Una de las obras maestras de la literatura latinoamericana, Rayuela de Julio Cortázar, tiene una característica muy peculiar: sus 155 capítulos pueden ser leídos en varios órdenes distintos. Cortázar mismo sugiere un par de esos órdenes, pero al menos en teoría la novela puede ser leída en cualquier orden que el lector prefiera.
En este momento podemos preguntarnos, ¿cuántos libros distintos están escritos en Rayuela? O, en otras palabras, ¿de cuántas formas distintas podemos ordenar los capítulos del libro?
Para contestar esta pregunta, podemos razonar de la siguiente forma. Rayuela tiene 155 capítulos, así que podemos elegir entre 155 posibilidades como capítulo inicial. Una vez que decidimos con cuál empezar, nos quedan 154 capítulos para leer después. O sea que hay 155·154 (es decir 155 multiplicado por 154) formas de elegir los primeros dos capítulos.
Podemos continuar de esta misma forma: para el tercer capítulo nos quedan 153 opciones; para el cuarto 152; para el quinto 151; y así sucesivamente. En total, el número de posibles lecturas de Rayuela es el resultado de multiplicar todos los números de 1 a 155; esto se llama el factorial de 155, que representamos como 155!=155·154·153·…·3·2·1. Este número es tan grande que no tenemos ninguna esperanza de poder leer todas estas combinaciones. De hecho, si alguien hubiera leído un millón de versiones distintas de Rayuela cada segundo desde el Big Bang hasta ahora, todavía estaría lejos de llegar a la millonésima parte de todas las versiones posibles.
Jugando rayuela. CC0 Creative Commons
En general, si pensáramos en un libro que tiene n capítulos que pueden ser organizados libremente, tendríamos n! posibilidades. Seguramente habrán ya notado que este factorial crece muy rápidamente; incluso con sólo 10 capítulos, nos encontramos con más de 3 millones de órdenes. O sea que podemos prácticamente olvidarnos de leer todas las combinaciones posibles de capítulos, a menos que haya muy (pero muy) pocos capítulos.[1]
Digamos ahora que decidimos hacer algo de trampa y, para reducir el tiempo total dedicado a explorar todos los órdenes, permitimos que las lecturas en distintos órdenes se traslapen. Por ejemplo, si tenemos un libro con 3 capítulos, leer la secuencia 1,2,3,1 cuenta como haber leído el libro en orden 1,2,3 y en orden 2,3,1. Sin embargo, sólo contamos secuencias continuas: leer 1,2,1,3 no cuenta como haber leído 1,2,3 porque la segunda lectura del capítulo 1 la interrumpió. La pregunta ahora es ¿cuántos capítulos tenemos que leer para estar seguros que hemos leído todos los órdenes posibles? En este caso estamos interesados en el número más pequeño que nos da esta garantía.
La verdad es que en este caso, como en tantos problemas relacionados con contar objetos con unas propiedades aparentemente simples, la mejor respuesta que puedo dar es que no sabemos. Hasta ahora nadie ha encontrado cómo calcular un valor preciso. Sin embargo, podemos dar algunas cotas para este número.
Una posibilidad para poder leer todos los órdenes es el método básico y directo: simplemente leemos todos los órdenes, uno después del otro. Para un libro con n capítulos, sabemos que hay n! órdenes, y en cada uno de ellos hay que leer n capítulos para acabar el libro, así que es posible tener todos los órdenes con nn! capítulos. ¡Pero este conteo no es preciso! Solamente nos da una aproximación por arriba al número que buscamos. Por ejemplo, para n=2 (o sea, si hay dos capítulos) es suficiente con leer la secuencia 1,2,1 para haber leído cada orden. Esos son 3 capítulos, contra la cota propuesta anteriormente, que nos haría leer 1,2 y posteriormente 2,1 para un total de 4 capítulos. ¿Podemos hacerlo mejor?
Veamos, por el otro lado, si podemos encontrar un límite inferior al número que queremos. Obviamente, para terminar de leer el primer orden, tenemos que leer una versión del libro con n capítulos. Por ejemplo, con n=3 podemos primero leer todos los capítulos en orden: 1,2,3. Después, para agregar cada orden existente, necesitamos leer al menos un capítulo más. Continuando con el ejemplo, si extendemos la secuencia a 1,2,3,1 ahora hemos leído dos versiones, y con la secuencia 1,2,3,1,2 tenemos tres versiones. Y no podemos agregar un orden adicional sin leer otro capítulo en la secuencia. O sea que es imposible lograr nuestra meta leyendo menos de n!+n-1 capítulos en total. Sin embargo, en realidad este límite inferior es más alto. Podemos demostrar que no existe ninguna serie de longitud n!+n-1 que incluya todos los órdenes. En nuestro ejemplo con n=3, pueden verificar fácilmente que para obtener 4 órdenes distintos necesitamos al menos 7 capítulos y por lo tanto los 6 órdenes posibles necesitan cuando menos la lectura de 9 capítulos, que es mayor a 3!+3-1=8.
Para fines prácticos, esto quiere decir que será imposible que alguien lea todas las posibles versiones de Rayuela, o para el caso de cualquier obra similar, con más de 10 capítulos.
La parte interesante es que la mejor cota que se conoce hasta ahora fue propuesta (y demostrada) por un usuario anónimo en un foro de internet. Ahora, matemáticos que quieren citar este resultado no saben cómo hacerlo. Y esto es uno de los detalles interesantes de las matemáticas: cualquiera puede hacerlas, y cualquiera puede llegar a proponer una solución válida a algún problema aún sin resolver, si se tiene la intuición y dedicación adecuadas.
Acerca del Autor
Rafael Peñaloza es matemático aplicado e investigador enfocado a la lógica y representación del conocimiento. En su tiempo libre es un aficionado a la literatura.
[1] Si están interesados, el mismo Cortázar escribió otra obra 62/Modelo para armar, en que el lector puede organizar los párrafos a placer. En otros ámbitos, Haruhi Suzumiya es un anime cuyos episodios se han presentado en diversos órdenes. Si conocen otros ejemplos, hagánoslos notar en los comentarios de esta entrada del blog.
Editores: Emiliano Cantón, Ximena Bonilla