Con esta entrada, Juan de Pedazos de Carbono despide la divertida serie acerca de los números, al menos por ahora. Esta vez nos explica cómo es posible que algunos infinitos sean más grandes que otros. --
Nuestro trayecto ha sido largo, pero espero que hasta el momento les haya parecido también algo interesante y quizá hasta divertido. Desde una noción tan básica cómo el simple acto de contar—contar borregos, contar deudas, contar pedazos de pizza—hemos llegado hasta contar grupos de cosas que nunca se terminan. Así fue como contamos también la historia del Hotel Hilbert, y su interminable cantidad de habitaciones en las que se pueden hospedar no sólo a tantos huéspedes cómo números naturales hay; sino también a una cantidad infinitamente igual de grande de autobuses, cada uno de ellos con su respectiva infinita de pasajeros.
Lo que ocurrió después es, sin embargo, algo que no se puede contar. Yo me estoy arriesgando, de hecho, al compartir esta historia con ustedes. Pues resulta que, a pesar de su tremendo éxito y de su—aparentemente—inagotable capacidad, un día llegó con un reto mucho más difícil de superar para el Hotel Hilbert. Algo que ni las mentes más brillantes de la historia fueron capaces de anticipar.
El protagonista de este suceso fue un personaje con el nombre de Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor. Nacido en la ciudad de St. Petersburgo, desde pequeño se mudó a Fráncfort, Alemania, donde se convirtió en un emprendedor de diversas áreas de matemáticas como la teoría de conjuntos, sus fundamentos teóricos, y—sobre todo—sus aplicaciones para incrementar las ventas en agencias de viajes.
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| Georg Cantor, un inovador en el mercado de las agencias de viajes |
La Agencia de Viajes Cantor se convirtió en su tiempo, de hecho, en una de las más exitosas empresas; ofreciendo sus servicios para llenar infinitas cantidades de autobuses con infinitas cantidades de personas para trasladarlas y hospedarlas en infinitas cantidades de habitaciones en el Hotel Hilbert.
Motivado por su éxito hasta el momento, y buscando expander los horizontes de su empresa, Cantor propuso el diseño y financió la construcción de un nuevo vehículo para pasajeros. Desde su exterior, el Autobús Cantor se parece a un autobús como cualquier otro. Con una parte delantera, donde se sienta el chofer para conducirlo, y una parte trasera, donde se suele colocar una llanta de refracción.
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| Desde su exterior, el Autobús Cantor parece ser bastante ordinario |
Pero es el interior del autobús el que es realmente interesante. En lugar de numerar los asientos comenzando por el uno, luego el dos, etc.; cada uno de la infinidad de asientos en su anterior está identificado por una larga e infinita secuencia de letras. Así es como se ve, por ejemplo, un boleto para subir al autobús:
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| Los boletos del autobús son, de hecho, infinitamente largos |
Se puede abordar al autobús por una gran puerta en la parte central por uno de sus costados, y en su interior se encuentra una gruesa lámina que separa a la parte delantera de la trasera del autobús. Entonces, cada pasajero puede mirar a su—necesariamente—infinitamente largo boleto de entrada, para encontrar la parte del autobús que le corresponde a su asiento. Si la primera es una letra ‘D’, sabe que su asiento se encuentra en la mitad delantera del autobús, y puede entrar a esa sección. Luego el pasajero se encuentra con otra nueva lámina que separa a esta sección en otras dos partes más pequeñas. Ya que la segunda letra de su boleto es una ‘T’, sabe que—dentro de esta sección—su asiento se encuentra en la mitad más cercana a la parte trasera. Y así sucesivamente el pasajero puede ir leyendo las letras que identifican al asiento en la parte delantera o trasera de cada sección hasta que, en el límite, se encontrará justa y precisamente con su asiento asignado.
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| Así es como buscas tu asiento dentro del Autobús Cantor |
Parece una configuración quizá un poco confusa o complicada, pero es bastante conveniente ya que permite acomodar muy bien a las personas dentro del autobús, dándoles además una privacidad total. Aún si tienes dos números de asientos muy parecidos, pero con por lo menos una letra distinta, sabes que esos dos asientos se encuentran—necesariamente—en distintos compartimentos del autobús. Además, desde su primer viaje el esfuerzo de Cantor fue recompensado en creces, pues no tuvo problema en encontrar turistas entusiastas que llenaron por completo el autobús; todos felices y dispuestos a disfrutar de sus vacaciones en el afamado Hotel Hilbert.
“¡Pero qué clase de cantidades infinitas son estas?”, exclamó el recepcionista del hotel al ver arribar una múltiplemente infinita cantidad de caritas sonrientes asomándose por las ventanillas al costado del autobús. El responsable de la agencia de viajes bajó entonces del autobús, y preguntó al aún estupefacto recepcionista del hotel si sería tan amable de asignar, por favor, un número de habitación para cada uno de sus pasajeros.
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| Múltiplemente infinitas caritas sonrientes se asoman de las ventanillas en el Autobús Cantor |
Hecho pomada, y después de una enorme cantidad de intentos fallidos, el recepcionista finalmente produjo lo que—le parecía—era una asignación completa en la que a cada habitación le correspondía uno de los pasajeros en el autobús, sin dejar a persona alguna sin su propia habitación. Para cerciorarse llevó su lista con Hilbert, quien le ayudaría a corroborar que no había cometido ningún error. La lista, de hecho, comenzaba más o menos así:
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| Así comenzaba una lista asignando un número de habitación a cada pasajero del autobús |
Después de analizar la lista por un momento, Hilbert exclamó, “¡Algo esta mal! ¡Hay un pasajero que no encuentro en la lista!”. Entonces explicó que si nos fijamos en la primera letra del pasajero en la primera habitación, una “D”, hay que tener cuidado de no dejar afuera a algún pasajero cuya primera letra sea la “T”. Del mismo modo, si nos fijamos en la segunda letra del pasajero en la segunda habitación, una “T”, hay que tener cuidado de no dejar fuera a alguien que allí tenga una “D”. De este modo, nos podemos fijar en la letra de cada pasajero que corresponde a su número de habitación y, al cambiar “D” por “T” y viceversa, descubrimos a un pasajero que parece escurrirse de nuestra lista:
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| Hilbert encuentra un pasajero que no tiene habitación asignada |
Sabemos que este pasajero no es el asignado a la primera habitación, pues hay por lo menos una letra (la primera) distinta a la del pasajero que ocupa esa habitación. Este pasajero tampoco es el asignado a la segunda habitación, pues hay por lo menos una letra (la segunda) distinta a la del pasajero que ocupa esa habitación. De hecho, ¡este pasajero no está asignado a ninguna habitación! Pues para cualquier número de habitación sabemos que hay una letra (justo esa que coincide con el número de la habitación) que nuestro pasajero olvidado tiene distinta a la del pasajero que sí ocupa esa habitación en cuestión.
Lo más devastador es que, como Hilbert observó después de un momento, ¡no importa cuál sea la lista de asignaciones que genere su recepcionista! Cualquiera que sea la asignación, Hilbert podría siempre usar este mismo ejercicio (invirtiendo cada letra en la diagonal de la lista de pasajeros) para encontrar un pasajero del autobús al que no se le habría asignado un número de habitación en el Hotel.
¡La cantidad infinita de asientos en el Autobús Cantor, es más grande que la cantidad infinita de habitaciones en el Hotel Hilbert!
¡Wow! Si es la primera vez que te encuentras con esta idea, no dudes en repasarla de nuevo con calma para asegurarte de que has entendido y te sientes confortable con lo que aquí ha sucedido. Sobre todo, piensa también en lo que esto significa: ¡Cantor ha demostrado que hay infinitos más grandes que otros!
La cantidad infinita de asientos en el Autobús Cantor es tan fantásticamente grande ¡que ni siquiera se puede contar! No importa que estrategia utilices, si empiezas señalándolos con tu dedo mientras cuentas: “asiento uno”, “asiento dos”, y así sucesivamente; siempre te van a faltar asientos por contar pues ¡los números naturales no son suficientes para contar a todos los asientos!
Y, bueno, si crees que todo este es un cuento absurdo que sólo en un mundo de fantasía podría tener sentido, sólo te propongo que tomes en tus manos una regla y la mires con atención frente a tus ojos. Sí, una simple regla como la que usaste en la primaria y sobre la que, como ya aprendimos, puedes ubicar a los números reales. Ahora imagina que tu regla es un autobús y que—como Cantor ha demostrado—en esa misma regla que sostienes entre tus manos se encuentran, literalmente, una cantidad incontable de números.
Juan
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Escrito por Juan A. Navarro Pérez y publicado originalmente en Pedazos de Carbono