Y aunque hoy es 1° de mayo, no se nos olvida que toca la tercera entrega de la serie acerca de los números. Ahora Juan de Pedazos de Carbono nos explica qué pasa cuando uno se queda sin manzanas para comer o cuando uno tiene ganas de bailar como Michael Jackson.
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En los cuentos de Alicia en el país de las maravillas, hay un pasaje que siempre me ha parecido de lo más simpático. En él, Alicia acaba de conocer a la Tortuga Falsa—una especie de tortuga mezclada con partes de vaquilla, con la que se prepara la sopa de tortuga falsa—y al Grifo—una legendaria criatura con el cuerpo de león, pero la cabeza y las alas de águila. La Tortuga Falsa platicaba a Alicia de las cosas que aprendía cuando iba de pequeña en la escuela, cómo por ejemplo los diferentes ramos de la aritmética: “ambición, distracción, feificación e irrisión”.
“¿Y cuántas horas al día tenías tus cursos?” preguntó Alicia, apresurada por cambiar el tema.
“Diez horas el primer día,” contestó la Tortuga Falsa, “nueve al día siguiente, y así”.
“¡Qué plan de estudios tan curioso!” exclamó Alicia.
“Es por eso que los llaman cursos,” anotó el Grifo, “porque se acortan de día en día”.
Esta era una idea realmente nueva para Alicia, y reflexionó un momento antes de hacer su siguiente observación.
“¿Entonces el undécimo día debió ser de vacaciones?”
“Por supuesto que así lo era,” respondió la Tortuga Falsa.
“¿Y cómo se las arreglaban en el duodécimo día?” Alicia continuó entusiasmada.
“Ya es suficiente de hablar sobre cursos,” interrumpió el Grifo en un tono muy decidido, “cuéntale ahora algo sobre juegos.”
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| Alicia, la Tortuga Falsa y el Grifo (por o s h i) |
Alicia se topó con la idea de lo que ocurre cuando tienes, digamos ahora, tres manzanas (o rocas, u horas de clase), y comienzas a sustraer una a una, por ejemplo comiéndonos una manzana al día. Y todos tenemos una idea bastante clara de lo que ocurrirá eventualmente: se agotarán todas las manzanas. Si recuerdan nuestra lección anterior donde aprendimos a representar números como colecciones de rocas, este es el número de manzanas que tendrás ese día:
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| El número de manzanas que tendrás el cuarto día |
Ok, esto es ya un poco extraño pero, y luego, ¿qué ocurrirá el dia siguiente? ¿cuantas manzanas tendrás después de comerte otra manzana? “¿Cómo que comerme otra manzana? ¿Cuál manzana! ¡Eso es absurdo! ¡Ya no hay manzanas que comer!” Ahora entiendes por qué muy decidido el Grifo se apresuró a cambiar el tema de conversación.
Y si esto te recuerda a algunos de los primeros dolores de cabeza que sufriste en la primaria: no te preocupes, no estás sólo. Aunque para todos es más o menos claro lo que significa no tener ninguna manzana—los Babilonios hace cuatro mil años, por ejemplo, dejaban espacios vacíos para indicar la ausencia de cantidades—la idea de que esa “nada” o “falta de cosas” pueda ser tratada también como un “número” no fue muy bien entendida sino hasta unos mil años después por comerciantes en la India. Fueron ellos también quienes descubrieron, unos doscientos o trescientos años más tarde, que de hecho sí que te puedes comer una manzana aún cuando ya no tienes ninguna en la alacena.
Y no es ninguna coincidencia que hayan sido precisamente comerciantes quienes por primera vez hayan comprendido el uso de estos nuevos y extraños conceptos; pues fueron ellos también los inventores de otra gran idea que parece ser fundamental en la economía de nuestras sociedades modernas: la deuda.
¿Tienes mucha hambre y ninguna manzana para comer? ¡Eso no es ningún problema! Pide a un comerciante que te de una de fiado y luego se la pagas. Las manzanas fiadas, por supuesto, no son de gratis, y por eso el comerciante mantendrá la cuenta de las manzanas que tú le debes a él. Esto es lo que pasaría, entonces, si cada día te sigues comiendo una manzana:
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| No hay razón para dejar de comer manzanas, ¡incluso después de que estas se te acaban! |
Como te lo podrías imaginar, no hay ningún problema con tener y deber cosas al mismo tiempo; de hecho notaras que siempre puedes emparejar e ir cancelando elementos que “tienes” con elementos que “debes” sin cambiar la cantidad total de tus pertenencias. Ahora el concepto del número “vacío”—o “cero” como comúnmente le llamamos—deja de perder su misterio: es el número que obtienes cuando lo que tienes es igual a lo que debes y, por lo tanto, al emparejar los elementos uno a uno se cancelan completamente los “deberes” con los “teneres”.
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| Diferentes formas de representar al número “cero”. |
Además, sumar estos números “comerciantes” es la cosa más sencilla del mundo: simplemente sumas tus “deberes” y tus “teneres” de manera independiente; si te lo place al final puedes también simplificar algunos deberes con teneres pero, por supuesto, esto no es necesario.
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| La adición de dos números “comerciantes” |
Notarás que cada número tiene a su “alter ego”, que es lo que obtienes cuando intercambias el número de lo que debes con el número de lo que tienes. Observarás también que cuando sumas a un número con su propio “gemelo opuesto”, estos se cancelan, produciendo ese número que es ahora ya un muy buen conocido nuestro:
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| Al sumar un número con su “inverso negativo” da cero |
Otro hecho bien conocido es que si simplificas un número lo más que se pueda, cancelando los teneres con los deberes, al final siempre te encontrarás con uno de tres posibles casos: todas las deudas se cancelan, pero no lo que tienes, y terminas con un resultado “positivo”; tienes el balance perfecto y obtienes el número cero; o todo lo que tienes se cancela pero no así tu deuda, terminando con un resultado “negativo” y quizá una preocupación por lo que te falta todavía que pagar.
Pero no todo sobre los números negativos tiene que ser tan, uhm, ¡negativo! El “signo” de los números puede usarse también para indicar la dirección en la que se mueven las cosas. Y la dirección es algo que tienes que tener muy pero muy claro si, por ejemplo, quieres aprender a bailar como Michael Jackson.
Imagina, por ejemplo, que te encuentras de pie justo en el centro del escenario. Empezando con la secuencia más sencilla, si das dos pasos mirando a la parte derecha del escenario al final te vas a encontrar, uhm ... pues ... ¡dos pasos a la derecha del escenario! ¡Esto es muy sencillo!
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| 2 × 1 = 2 |
Pero también podrías dar “menos dos” pasos o, dicho de otro modo, dos pasos en la dirección opuesta, mirando hacia la parte izquierda del escenario. Al final de esta secuencia estarás ahora dos pasos a la izquierda del escenario.
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| –2 × 1 = –2 |
Sin embargo lo que todos estamos ansiosos por aprender es, por supuesto, ¡a hacer el moonwalk! De este modo podemos dar dos “pasos negativos” pero mirando en la dirección positiva, a la derecha, y—curiosamente—acabaríamos en el mismo lugar en el que acabamos cuando hicimos “menos dos” de los pasos normales.
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| 2 × –1 = –2 |
Y si has puesto atención a nuestra lección de baile, finalmente entenderás por qué en la primaria te machacaron esa idea en la mente de que “negativo” por “negativo” da “positivo”. Pues lo único que tienes que hacer es dar “menos dos” (mirando a la izquierda) “pasos negativos” (estilo moonwalk) para darte cuenta que daría exactamente lo mismo que dar dos pasos normales a la derecha.
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| –2 × –1 = 2 |
Bueno, daría casi lo mismo porque, por supuesto, nada puede prender más a tus fans que ¡verte en el escenario dando menos dos pasos negativos!
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Escrito por Juan A. Navarro Pérez y publicado originalmente en Pedazos de Carbono