Le compartimos la cuarta entrega de la serie acerca de los números. Una vez más, Juan de Pedazos de Carbono nos explica lo que ocurre cuando intentas hacer divisiones entre cero (no, no explota el mundo) y sobre el concepto de infinito (¡lo cual es infinítamente interesante!). --
En el Juego del Ultimátum, dos personas tratan de decidir como repartir entre ellos cierta cantidad de dinero. El primer participante decide la fracción de dinero que le toca a cada uno de los dos, y el segundo de ellos puede decidir aceptar la oferta—de modo que cada quien recibe lo acordado—o rechazarla—en cuyo caso el dinero se pierde y ninguno recibe nada. Y no hay más oportunidades o intentos. Es un Ultimátum. Esas son las reglas del juego.
Supongamos que, por ejemplo, se tienen que repartir $1,000 entre las dos personas. La primera de ellas podría sugerir quedarse con $600 y dejar $400 a la segunda, podría sugerir repartir el dinero en cantidades iguales, o podría incluso sugerir quedarse con $999 y dejar sólo $1 a la segunda persona. Según los ecónomos, la decisión “racional” para la segunda persona debería ser la de aceptar cualquier oferta donde reciba algo de dinero, pues no importa si son $600, $400 o sólo $1; cualquier cantidad es mejor que no recibir nada.
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| ¿Aceptarías cualquier oferta? |
Sin embargo, cuando este experimento se lleva a cabo realmente entre personas la teoría es muy distinta a lo que ocurre en la práctica. ¡Por supuesto que no! ¿Me vas a dar $1 mientras tú te quedas con $999? ¡Eso no es justo! La mayoría de las personas estamos más que dispuestos a sacrificar nuestra propia ganancia, con tal de ver también perder su ganancia a aquel que percibimos está siendo injusto y aprovechándose de su situación de ventaja. Más aún, esta no es una propiedad particular de los humanos, en experimentos con monos capuchinos como participantes se observan resultados similares: una tendencia a rechazar ofertas perfectamente váldas, si es que otros están obteniendo una mejor recompensa. Tenemos aversión a la desigualdad.
Y es quizá por esto también que para todos nos parece muy natural e intuitiva la idea de compartir bienes y repartirlos equitativamente en partes iguales. A diferencia de la resta y los “números negativos” que parecían tan extraños y traídos de un mundo de fantasía; difícilmente encontramos un problema en imaginar, por ejemplo, como compartir y repartir cinco panqués recién horneados entre dos personas hambrientas. Todos notamos el pequeño problema que esto supone, las unidades de panqués no se pueden repartir en dos partes iguales, pero también todos descubrimos de inmediato la solución: ¡basta con romper uno de los panqués!
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| Una forma de dividir cinco panqués entre dos personas |
Podríamos decir que cada una de las personas recibe dos panqués y “un medio”. Realizar operaciones básicas con estos nuevos números “quebrados”, tampoco nos supone ningún problema, ya que las mismas ideas que hemos explorado antes se aplican de manera muy natural aún cuando nuestros números tienen “pedacitos” de unidades. La suma de dos números sigue siendo la simple agrupación de las cantidades que representan a ambos; igual que hay deudas de manzanas enteras, podemos quedar en deuda con fracciones de panqués; para calcular los productos podemos seguir aplicando nuestro avanzado método de formar rectángulos con ellos; además, del mismo modo que podemos dividir panqués enteros entre nuestros amigos, podemos también dividir los pedazos en fracciones más pequeñas si nos viéramos en la necesidad.
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| El producto obtenido al repetir “tres veces” los “dos panqués y un medio” |
Sin embargo andar sumando, restando, multiplicando y dividiendo montones de pedacitos de diferentes tamaños, pronto las operaciones se vuelven un poco engorrosas. Afortunadamente, no importa cuantas operaciones realicemos, ni cuantos pedacitos de diferentes tamaños estén involucrados, siempre vamos a poder representar un número “quebrado” usando dos números que estén completos o “enteros”. El primero de ellos indica en cuantas pedazos tienes, mientras que el segundo indica cuando pedazos necesitas para formar una unidad entera.
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| Los quebrados se pueden escribir más fácil usando varios pedazos del mismo tamaño |
Quizá pueda sonar un poco extraño, pero incluso se pueden repartir panqués o pedazos de pizza entre “media persona”. Por ejemplo, si tenemos 5 panqués y los repartimos entre “media persona”, ¿cuántos le tocan a una persona entera? La respuesta, si se lo pueden imaginar, son 10 panqués, pues a cada una de las dos “medias personas” le tocan 5 panqués. En general, podemos obtener el número de panqués a un tercio (o un cuarto, o un quinto, o ...) de persona, simplemente multiplicando el número de personas por tres (o cuatro, o cinco, o ...).
Y, aunque a veces un poco simpático, todo parece más o menos claro e intuitivo cuando se realizan operaciones aritméticas con esta nueva clase de números; todo excepto por esa pregunta incómoda que tarde o temprano se nos atraviesa en el camino: ¿qué es lo que sucede cuando dividimos por cero?
Si tengo cinco panqués y los divido entre cero personas, ¿cuantos panqués le tocan a cada persona? Y no, la respuesta no puede ser cero: si juntas los cero panqués que le repartiste a las cero personas al final no recuperas los cinco panqués con los que empezaste. A diferencia de lo que sucede cuando repartes entre dos o más personas, si juntas de nuevo todas las fracciones repartidas, recuperas la cantidad original exacta. Algunas personas simplemente buscan evitar a toda costa enfrentarse con este problema, y muy dogmáticamente ordenan: nunca dividas entre cero, simplemente no se puede, no tiene sentido.
Al dividir entre cero, algunas computadoras simplemente detienen la ejecución del programa reconociendo que ha existido un error. Algunas regresan como resultado no un número, sino un valor curiosamente llamado “no es un número” simplemente indicando que se ha llevado a cabo una operación que no está bien definida entre la clase de números con la que se está trabajando.
Algunos, un poco más aventureros, no le huyen al problema y tratan de analizarlo más a fondo. Por ejemplo, en lo que todos están más o menos de acuerdo es que cuando divides cero entre cero, lo que obtienes es cualquier número que tu quieras. Puedes decir que cero dividido entre cero es cinco y estar en lo correcto, del mismo modo que cero entre cero es menos dos o es cuatro quintos. Y esto es porque si juntas las cinco partes (o menos dos, o el número que quieras) que le repartiste a cada una de las cero personas, al final recuperas la cantidad original que tenías: cero. Esto es un poco raro, porque hasta ahora el resultado de una operación aritmética había sido siempre un número, ¡no montones de ellos!
Sin embargo el verdadero problema ocurre cuando queremos repartir cierta cantidad (no cero) de cosas entre precisamente cero personas. Entonces el argumento que presentamos en el párrafo anterior deja de funcionar. Alternativamente, una de las respuestas que se suele dar es que al dividir entre cero lo que obtienes es un número “muy, pero muy grande”. La justificación viene del hecho que discutimos sobre lo que ocurre cuando divides entre un número más y más pequeño de personas (un medio, un tercio, un cuarto, ...) que equivale a multiplicar el número original por otro número cada vez más y más grande (por dos, por tres, por cuatro, ...). “Naturalmente”, cuando divides entre el número que tiene la magnitud más pequeña de todas, el cero, ¡debes obtener un número que tiene la magnitud más grande de todas! Sin embargo, desde que aprendimos a contar nos dimos cuenta que ninguno de los números que nos hemos encontrado hasta ahora es “más grande que todos”, y es por esto que tenemos que inventar un nuevo número: el infinito.
Mas aún, los lectores avispados notarán que un argumento similar pero con números negativos nos dirá que el resultado de dividir entre cero también debe de ser un número “muy, pero muy grande, y negativo” y es por eso que debemos introducir también el “menos infinito”. El infinito, no importa que signo tenga, es un concepto tan extraño muchos se resisten a tan sólo llamarle “número”. Y es que, de entrada, parece introducir más preguntas de las que contesta: ¿Qué es lo que sucede cuando sumas infinito más cinco? ¿Cuánto es infinito más infinito? ¿¡Cuanto es infinito multiplicado por infinito!? ¿Se obtiene a caso un infinito más grande?
Estas son montones de preguntas interesantes y que, queda prometido, vamos a abordar también más adelante en nuestra serie. Por lo pronto, sin embargo, nuestro plan continua con otras dos clases de números que nos tenemos que encontrar también: los que no son racionales (sino más bien irracionales), y los que no son reales (sino más bien imaginarios).
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Escrito por Juan A. Navarro Pérez y publicado originalmente en Pedazos de Carbono
