Los maestros, a quienes hoy felicitamos en su día, nos enseñaron a medir ciertas longitudes usando nuestra regla. ¿Creen que teniendo una regla gigante con millones de rayitas puedan medir con exactitud cualquier línea recta? Este miércoles, Juan de Pedazos de Carbono nos cuenta si esto es posible. –
En nuestro viaje por las distintas clases de números, hemos creando ya números para contar las cosas que tenemos, números para contar las cosas que debemos, e incluso números contar “pedazos” de cosas que tenemos o debemos también. Y, aunque de pasada lo hemos mencionado un poco, es hora de ir poniendo un poco más de orden entre todo este montón de números que hemos ya descubierto.
Así que para ordenarlos lo que podemos hacer es poner a todos los números en fila, formándolos—así como nos hacían en la primaria antes de entrar a clase—según su tamaño desde los más pequeños hasta los más grandes. El resultado que obtienes al ordenar así a los números seguramente tampoco te causa gran sorpresa, pues se trata de otra conocida compañera de la primaria: la regla.
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| Así ordenaditos, ¡se ven todos más bonitos! / (Foto Sam Teigen) |
Las reglas que usaste en la primaria, sin embargo, lo más probable es que sólo tuvieran un pedacito de toda “la” regla que resulta cuando pones en fila a todos los números que hasta ahora conocemos. Y es que, si vamos poniendo una rayita sobre la regla por cada uno de los números que cuentan piedras: la regla no tendría nunca fin hacia la derecha, siempre puedes ir agregando más y más rayitas para números más y más grandes. Del mismo modo las deudas—que en la regla se pueden poner como rayitas a la izquierda del cero—también pueden ir creciendo sin encontrarse con ningún fin por la izquierda.
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| Los puntitos indican que la regla no tiene fin a la izquierda ni a la derecha |
Ahora, si agregamos también a nuestra regla una rayita por cada uno de los números quebrados, resulta que la regla tampoco tiene fin hacia “adentro”. Y esto es porque si tomas dos rayitas cualesquiera en la regla—como por ejemplo las del “0” y el “1”—siempre podrás encontrar otra rayita situada entre ellas—como por ejemplo la rayita del “1/2”. Igual así entre la rayitas del “1/2” y el “1” estará la del “3/4”; y entre las del “3/4” y el “1/2” está la del “5/8”. Y este mismo proceso lo puedes continuar repitiendo una y otra vez sin encontrar nunca el “final” en el interior de la regla.
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| Los números quebrados en la regla, tampoco tienen final hacia “adentro”. |
Lo que esto quiere decir es que podrías salir con tu regla y ponerte a medir cualquier cosa que se te ocurra—la longitud de una mesa, el perímetro de tu casa, o la altura de tu cuerpo—y siempre encontrarás una rayita que aproxime con toda la precisión que quieras a aquello que estas midiendo. Si la orilla del objeto no coincide exactamente con alguna de las rayitas, siempre podrás encontrar más y más rayitas que aproximen la medida correcta con mayor y mayor precisión. Quizá te veas tentado a suponer que, por lo tanto, siempre habrá alguna rayita en tu regla que coincida precisa y exactamente con la longitud de lo que tratas de medir. Pero no, no lo hagas. Si supusieras esto, te verías terriblemente decepcionado.
Por más increíble que esto pueda parecer, aún después de haber agregado una rayita por cada uno de los números quebrados—todos, todos ellos: los positivos y negativos, los grandes y los chiquitos—aún así te encontrarás con algunas longitudes que nunca podrás medir con absoluta precisión usando tu regla. Hay algunas medidas que, ¡no tienen ninguna razón!, algunas medidas son... umm, ¡completamente irracionales! (La palabra “razón”, curiosamente, significa también el cociente entre dos números; es decir, un número quebrado.)
Y un ejemplo de estas míticas y terriblemente extrañas longitudes que no podemos medir con nuestra regla de números quebrados es: la diagonal de una mesa cuadrada. Así es, toma una mesa cuadrada cuya longitud puedas medir (digamos de 1 metro) y ahora trata de usar esa misma regla para medir la diagonal de la mesa. No importa que tanta precisión tenga tu regla (mili-mili-mili-mili-milímetros), nunca encontrarás una rayita en la regla que coincida exactamente con la medida exacta de la diagonal de la mesa. Aunque hoy no tendremos tiempo para ver una verdadera demostración, inténtenlo, y verán que no les estoy mintiendo. Otra famosa longitud que no podemos medir es la circunferencia de una pizza si es que su diámetro lo hemos podido medir con exactitud.
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| Ninguna raya que corresponda a un número quebrado va a medir la diagonal de la mesa con exactitud. |
Resulta pues, entonces, que nuestra regla—que parecía estar repleta de números por todas direcciones—estaba en realidad también llena de “huecos”, estos incómodos números “irracionales” que simplemente no se dejan medir con precisión usando las rayitas de la regla. ¿Y cómo cuantos números nos faltaban? ¿Qué tantos eran estos números que se nos estaban escurriendo entre los quebrados? ¿Son muchos, sólo unos cuantos? Más y más preguntas interesantes, por lo pronto créanme que los números que nos faltaban eran muchos más de los que pudiéramos contar, pero eso lo dejaremos también para revisarlo de nuevo más adelante.
Por lo pronto imaginemos que, mediante algún truco matemático, logramos encontrar a todos estos números que nos faltan, y los agregamos también a nuestra regla. Lo que habremos obtenido entonces es la regla de todos los números “reales”. ¿Y por qué se llaman “reales”?, te preguntarás. Pues para no confundirlos, por supuesto, con los números “imaginarios” que serán el centro de atención de nuestra próxima entrega en la serie.
Juan
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Escrito por Juan A. Navarro Pérez y publicado originalmente en Pedazos de Carbono