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Hace un par de semanas, en nuestro recorrido donde hemos descubierto toda clase de números, llegamos a encontrarnos con los números “reales”. Estos son todos los números que nos podríamos encontrar si elegimos algún punto al azar dentro de una regla. Sí, una simple regla como la que usábamos en la primaria en las clases de geometría. Nada fuera del otro mundo, ¿verdad?
Pues aunque no lo pareciera, si de conceptos abstractos se trata, el salto que hay que dar de los números quebrados a los números reales es sin lugar a dudas el más complicado de todos. Contrario a lo que la mayoría llegamos a pensar entender a los números imaginarios es mucho más sencillo que eso. El recorrido por los imaginarios es más bien como una danza por el parque, con todo y paisaje para admirar al final del paseo.
Quizá los números “complejos” y los “imaginarios” nos parecen tan poco intuitivos—una fumada, pues—porque sólo nos cuentan el final de la historia y rara vez el principio. Nos dicen que los imaginarios aparecen, así como espíritus o fantasmas, cuando vas y le tratas de sacar la raíz cuadrada a un número negativo. “¡Pero qué coños es la raíz cuadrada de un número negativo? Es más, ¿no habíamos quedado que un número multiplicado por sí mismo siempre tiene que dar positivo? ¡Lo aprendimos hasta con pasitos de Michael Jackson y todo!”
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| Esto de los números imaginarios es pura fumada matemática, ¿o no? |
Si, la verdad es que esa historia no tiene ningún sentido. Por eso mejor los invito a que se olviden de todo lo que creían saber sobre números complejos y, en su lugar, retomemos de nuevo nuestras clases de baile.
Cuando estás en un escenario—o en una pista de baile—tus pasos no están restringidos sólo a la derecha y a la izquierda de la tarima; también puedes dar pasos hacia la parte del frente—donde está tu público aclamándote—y pasos para alejarte hacia atrás, ¿o no? Más aún, combinando estas dos direcciones, puedes dar pasos libremente hacia cualquier lugar del escenario. Por ejemplo puedes dar un pasito pequeño hacia atrás y a la izquierda del escenario, seguido de un paso más largo hacia el frente y la derecha, y seguido de otro paso más... ¡Esto sí es bailar!
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| ¡Un pasito palante María! ¡Un pasito patras! |
Después de dar uno y otro paso, la “suma” de todos ellos es—ni más, ni menos—el lugar en el que acabas después de haberlos dado todos. La idea es que, en lugar de dar todos estos pasos bailando de un lado a otro, podrías haber dado un sólo paso que es “la suma” (la flechita verde) y acabar exactamente en el mismo lugar.
¡Pero sumar es para los principiantes! Los bailarines profesionales también hacen giros y piruetas; y uno de los giros más impresionantes de todos es el que haces cuando “elevas” tu posición al cuadrado. Este es un paso un poco más complicado, les advertí que era para profesionales, pero si ponen atención lo pueden aprender también con facilidad.
Primero nos tenemos que poner de acuerdo en el tamaño de un “paso unidad”—puedes dar pasos grandes, y también chiquitos—pero la “unidad” es el tamaño de un paso normal tuyo. Luego lo que tienes que hacer es medir la distancia—en pasos unidades—a la que te encuentras del centro de la pista, así como el ángulo que formas con la pista si comienzas a medir desde la parte derecha. Finalmente para “elevar tu posición al cuadrado” basta dar piruetas hasta que logres elevar al cuadrado tu distancia y duplicar tu ángulo. Suena un poco complicado, pero la verdad es muy fácil, vamos a practicar.
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| Unas piruetas para elevar al cuadrado tu posición |
Este simpático paso de elevar al cuadrado tiene, además, unas propiedades curiosas. Notarás que si te encuentras alejado del centro de la pista—a más de una unidad de distancia—después de las piruetas acabarás aún más lejos, quizá incluso saliéndote de la pista. Mientras que si te encuentras cerca—a menos de un paso—tu distancia se hará más corta. Sólo si estás parado justo a un “paso unidad” de distancia (ya que el cuadrado de “1” sigue siendo “1”) es que te la podrás pasar dando vueltas y vueltas al rededor del centro si sigues elevando tu posición al cuadrado una y otra vez.
Ahora, una vez que has dominado estos dos pasos, podemos empezar a armar una coreografía. Para eso inicias parado justo en el centro del escenario y das tu primer paso inicial, no importa exactamente hacia donde, pero recuerda muy bien el tamaño y la dirección de ese que será el “paso clave”. Y luego la secuencia del baile es muy sencilla: un paso clave, y eleva al cuadrado, otro paso clave, y eleva al cuadrado, otro paso clave, y... Hasta comienza a tener ritmo, ¿verdad?
Si tu “paso clave” consiste en dar exactamente un “paso unidad” hacia al frente, te encontrarás con que estarás repitiendo entonces la siguiente coreografía.
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| La danza cuando el paso clave es una unidad al frente |
Si ensayas lo suficiente, te darás cuenta que algunos pasos clave—como el ejemplo anterior—te pueden mantener danzando y danzando en la pista sin parar. Mientras que otros pasos clave—como el paso de una unidad a la derecha—pronto te harán salir girando fuera de la pista.
Un hombre curioso, de nombre Benoit Mandelbrot y con aparentemente mucha paciencia, se puso a estudiar todas estas coreografías, tratando de distinguir a los pasos claves que te mantienen danzando por siempre—y los coloreó en su mapa con un color negro—de los pasos clave que después de un rato te mandan girando fuera de la pista—y esos los coloreó con diferentes intensidades, según el tiempo que les tomaba escapar de la pista. Lo que Mandelbrot se encontró al practicar estos sencillos pasos de baile—y de verdad que no bromeo, esto es todo lo que tienes que hacer para construir el mapa—es un increíble mundo lleno de infinita belleza, complejidad, y fantasía.
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| Haz click para “entrar” a la imagen y descubrir un mundo interminable de fantasia. |
A lo mejor ahora estás pensando que todo esto es quizá muy bonito pero, ¿qué aplicación puede tener en la realidad? Porque nadie ni nada baila de verdad siguiendo esta tipo de reglas, ¿verdad?
Y podrías pensar eso, pero estarías muy equivocado. Las señales de radio y televisión—y en general cualquier señal eléctrica o magnética—pueden guardar información transformada y escondida en “frecuencias” usando danzas similares a las que acabamos de aprender. Las partículas de los fluidos—como el aire que fluye por arriba y por debajo de las alas de un avión—se pueden estudiar también en términos de “pasos” sobre una superficie para “bailar”. Más aún, partes importantes de la física moderna como relatividad y mecánica cuántica se pueden también describir usando ste tipo de bailes.
Lo único que queda por explicar es la relación que tienen nuestros “pasos de baile” con los dichosos y fumados números “complejos” o con los “imaginarios”. Pero, para eso, ya sólo basta con echar una mirada a nuestro último diagrama:
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| La parte “real” del paso es la que das a la derecha (o izquierda si es negativa) y la parte “imaginaria” del paso (¿quién le puso ese nombre?) es la que das al frente (o atrás si es negativa) |
De tarea se les queda comprobar que si toman un paso completamente imaginario (hacia al frente) y lo “elevan al cuadrado”, lo que obtienen es un paso real pero negativo (hacia la izquierda). Y como la raíz cuadrada es el inverso de elevar al cuadrado, así es como se resuelve todo el gran misterio de los números imaginarios.
Juan --