La ateroesclerosis es una enfermedad cardiovascular crónica que se caracteriza por la acumulación de placa en las arterias, lo que puede provocar la obstrucción del flujo sanguíneo y eventos cardiovasculares severos. Al estudiarla quedo claro que su progresión y desarrollo no son simplemente el resultado de factores genéticos o ambientales separados, sino más bien una compleja interacción entre ambos en la que la epigenética desarrolla un papel crucial
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La epigenética abarca todos los mecanismos implicados en el despliegue del programa genético para los muchos procesos que operan durante la vida útil de una célula. Aunque las modificaciones epigenéticas parecen ser estables, pueden ser moduladas por muchos factores, incluyendo las condiciones fisiológicas, patológicas y/o por el medio ambiente. (Daound, 2016), para entender el impacto del ambiente en el epigenotipo, es necesario considerar dos escenarios: el desarrollo embrionario y la vida adulta.
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La Biología ha abierto numerosos campos de estudio para entender las formas en que la vida se presenta, cambia y se desarrolla. La genética se sitúa entre las áreas de conocimiento que mayores avances han presentado en los últimos años, arrojando luz sobre las bases fundamentales de la vida partiendo de la información que puede proveer el estudio del ADN y los procesos bioquímicos que lo acompañan.
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Muchos de los productos que consumimos y actividades que nos rodean implican el uso de organismos domesticados, pero, ¿qué es un organismo domesticado? La domesticación de un organismo es el proceso mediante el cual el humano adapta a los seres vivos para cumplir ciertas funciones
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La humanidad es sin duda una especie sumamente interesante. Los humanos somos primates y siendo realistas, no somos los animales más fuertes o rápidos, tampoco los más sigilosos, ágiles o resistentes al daño; nos movemos bien en tierra y podemos nadar, pero no nos comparamos a los animales acuáticos y no podemos volar. Para ser animales tan básicos es sorprendente que hayamos sobrevivido como especie, pero eso es porque tenemos unos cuantos trucos bajo la manga.
El agua contiene propiedades físicas y químicas asombrosas. Y uno, al verla día con día, pensaría que sabemos casi todo de ella. Sin embargo, mediante una simulación realizada en agua “súper congelada”, un equipo de investigadores de la Universidad de Arkansas, liderados por Feng Wang, confirmó una fase de transición de “líquido-líquido” a 207° Kelvin, o lo que es igual, a -66°C.
Esta nueva propiedad descubierta en el agua es importante para entender procesos básicos durante la crioprotección (preservación de tejido o de células mediante nitrógeno líquido).
“En tiempo de escala de un microsegundo, el agua no llegó a formar hielo, sino que se transformó en una nueva forma de líquido”, dijo Wang. “El estudio provee fuerte evidencia que soporta esta fase de transición y predice una temperatura de densidad mínima si el agua puede enfriarse por debajo de su temperatura de congelación normal. Nuestro estudio muestra que el agua se expanderá a muy baja temperatura aún sin la formación de suelo”.
La investigación se realizó por medio del uso de un modelo llamado potencial hídrico de fuerzas adaptables correspondientes de hielo y líquido (WAIL, por sus siglas en ingles). De acuerdo con la simulación, mientras el agua común es un líquido de alta densidad, a bajas temperaturas pasa por una fase de transición a un líquido de baja densidad.
Si pudieras regresar en el tiempo unos 75 millones de años y ubicarte en la provincia de Alberta, Canadá, los bosques, llanuras y montañas canadienses desaparecerían ante tus ojos y en su lugar contemplarías el exótico paisaje de Laramidia, una isla-continente que existió durante el Cretácico Tardío.
Mientras te acostumbras al calor y a la humedad excesiva que te rodean, te das cuenta de que te cuesta un poco de trabajo respirar: ¡los niveles de CO2 también eran altísimos! Sí, Laramidia era como un gran invernadero. Y como en todo invernadero, el crecimiento de las plantas era exuberante, casi extremo.
Conforme se oculta el sol, comienza a caer una leve llovizna. Corres debajo de un helecho gigante para resguardarte debajo de sus hojas y, de pronto, escuchas un fuerte resoplido a tan sólo unos metros de ti. Al apartar unas plantas que entorpecen tu visión, observas un espectáculo magnífico: varios dinosaurios se alimentan tranquilos de la abundante vegetación; tú tratas de contener la respiración. Por allá ves a los ceratópsidos alimentarse de arbustos medianos. Puedes admirar cómo sus formidables cuernos reflejan los tenues rayos de sol. Cerca tuyo pastan los ankilosaurios con su cuerpo bajo y ancho, su dura coraza y el imponente mazo que se agita en su cola. Más lejos, se encuentran unos animalotes que parecen tener un pico de pato: son los hadrosaurios. Uno de ellos se levanta en dos patas para poder alcanzar las hojas de un árbol frondoso.
Sin siquiera notarlo, la escena que acabas de imaginar da respuesta a una de las preguntas que más ha intrigado a los paleontólogos de nuestros tiempos: ¿cómo es que podían coexistir animales herbívoros tan grandes en un solo lugar sin competir entre ellos? Jordan Mallon, del Museo Nacional de Canadá, encontró la solución sin tener que hacer un viaje en el tiempo. Su investigación, que se publicó el día de ayer en la revista PLoS ONE, consistió en comparar los cráneos de más de 100 dinosaurios hervíboros encontrados en yacimientos fósiles de Alberta. Su objetivo era encontrar diferencias, aunque fueran sutiles, entre los cráneos para poder distinguir si los animales compartían los mismos hábitos alimenticios o no.
Mallon no sólo encontró diferencias relacionadas a la alimentación entre los cráneos de ceratópsidos, ankilosaurios y hadrosaurios (diferencias que, para ser honestos, no eran tan inesperadas) sino que también observó que algunas de estas características eran ligeramente distintas dentro de cada uno de esos tres grupos. La conclusión más importante del trabajo de Mallon es que la coexistencia de todos estos gigantes fue posible debido a que no competían por comer las mismas planta: estaban especializados para alimentarse de cierto tipo de follaje. Esto es un fenómeno ecológico conocido como "partición de nicho", y parece ser más común de lo que se pensaba. Tanto así que en la actualidad existen numerosos ejemplos de plantas y animales que, para poder sobrevivir, deciden que lo suyo es dejar de competir.
Con base en el estudio y observación del desarrollo de diferentes especies de animales, el apoyo del registro fósil y el análisis de datos genómicos, investigadores del Centro de Biología del Desarrollo RIKEN mostraron que el caparazón de las tortugas se deriva de la caja torácica de su ancestro y no de una combinación de estructuras de hueso internas y externas como se pensaba.
Observando a los seres vivos y a sus estructuras desde una perspectiva evolutiva, se podría saber, por medio de diversos análisis, de dónde provienen cada una de sus características. Un ejemplo famoso de esto es la evolución de los tetrápodps (4 patas), nuestro grupo evolutivo. De manera sencilla podemos decir que nuestro brazo posee un húmero, seguido del radio y la ulna y posteriormente tenemos a los carpales. Este patrón lo podemos observar en todos los mamíferos, en las aves, en los reptiles y en los anfibios. Sin embargo, a pesar de que cada grupo presenta funciones y morfologías diferentes, con base en la misma estructura base podemos, con ayuda del registro fósil y la geología, saber quién fue primero en la historia evolutiva.
Dicho esto, el origen del caparazón de las tortugas no estaba claro hasta ahora, porque comprende partes de origen endoesquelético (estructuras óseas internas) y otras partes que parecen más exoesqueletos (estructuras óseas externas) similares a los de los cocodrilos y los peces.
La parte exterior del caparazón de la tortuga se pensaba que se había derivado de huesos del exoesqueleto, mientras que la parte interna se ha demostrado que se originó de costillas y vertebras que están conectadas al esqueleto interno del animal. Sin embargo, no se ha obtenido evidencia directa que demuestre que las estructuras óseas que se desarrollan fuera de la caja torácica en tortugas se derivan del exoesqueleto.
Con el objetivo de demostrar si el caparazón de la tortuga evolucionó con alguna contribución del exoesqueleto de su ancestro, el investigador Tatsuya Hirasawa y su equipo obersvó el desarrollo de embriones de tortugas chinas con caparazón suave, pollos y cocodrilos.
El resultado del estudio arrojó que la mayor parte del caparazón de la tortuga se constituye de costillas hipertrofiadas y vertebras y, por lo tanto, se deriva únicamente del tejido del endoesqueleto.
Este resultado fue confirmado mediante la observación del registro fósil de la antigua tortuga Odontochelys y el antiguo reptil Sinosaurosphargis, quienes muestran que poseían caparazones de origen endoesquelético.
“Recientemente, los análisis genómicos nos han dado evidencia de que las tortugas evolucionaros de reptiles relacionado de manera cercana con cocodrilos y dinosaurios, y no de reptiles primitivos como antes se pensaba. Nuestro descubrimiento coincide con la historia evolutiva revelada con los análisis genómicos y están a punto de desenmarañar el misterio de cuando y como evoluciono el caparazón de las tortugas”, comenta Tatsuya acerca de sus publicación.
Hace 35 millones de años, la Antártida era un ecosistema tropical, bullente de vida. Cerca del centro del continente, había un lago del tamaño del lago de Ontario. Al día de hoy, el lago sobrevive bajo 3,700 metros de hielo. Y científicos de la Universidad Estatal de Bowling Green, coordinados por Yury Shtarkman y Zeynep Koçer, acaban de encontrar señas de vida en él.
Debajo de las inmensas capas de hielo de la Antártica, el lago se mantiene en estado líquido gracias a la combinación de la enorme presión que ejerce sobre él ese hielo y la actividad geotérmica que los científicos piensan que actúa en el fondo del lago. Conforme el glaciar se mueve sobre el lago, el agua de la superficie del lago se congela y se incorpora al hielo. Esa agua recién congelada se va acumulando de manera vertical, de forma que se crea una columna que registra las características del lago a lo largo del tiempo.
En 2012, científicos rusos perforaron el hielo sobre el lago Vostok y llegaron al agua líquida. Guardaron muestras del hielo desalojado, y las muestras más cercanas a la superficie, es decir, las más jóvenes, fueron las que usó el equipo de investigación de Shtarkman y Koçer. Ellos encontraron restos de ARN conservado en el hielo y lo analizaron para ver si coincidía con el de alguna especie conocida. A diferencia del ADN, el ARN es sumamente lábil, de modo que cualquier resultado positivo hablaría de organismos que quizá aún habitan el lago.
Los investigadores encontraron más de 3,500 secuencias únicas. Pudieron identificar con certeza la tercera parte de ellas. 95% de esas secuencias pertenecían a bacterias, ya fuera de agua dulce, marinas, de sedimento o que habitan ventilas hidrotermales. Lo interesante es que 5% de las secuencias identificadas pertenecían a organismos eucariontes. Casi todas ellas eran de hongos, pero también encontraron secuencias pertenecientes a bivalvos, artrópodos o rotíferos. Esto, sumado al hecho de que muchas de las secuencias de bacterias encontradas pertenecen a microbios parásitos o simbiontes de animales, hace pensar a los científicos que en el lago Vostok podría existir un ecosistema completo.
Además de lo asombroso que resulta encontrar señas de vida en un lugar tan inhóspito como este, el lago Vostok es una gran caso de estudio para la astrobiología. Se piensa que, de existir vida en Europa y Enceladus, lunas congeladas de Júpiter y Saturno respectivamente, quizá existiría en condiciones muy similares al de este lago subglacial, el más grande de la Antártica.
Por el simple hecho de consumir vegetales no necesariamente nos proporcionarán un buen nivel de nutrientes para nuestro organismo, puesto que si dichas plantas no fueron enriquecidas con cantidades suficientes de potasio, por ejemplo, el jitomate que consumimos no nos aportará una importante cantidad del mismo. Aunado a esto, si el agua de riego contiene metales pesados (plomo, mercurio, cadmio, etc.) derivados de las aguas residuales que las industrias vierten en cuerpos acuíferos, la planta regada con esta agua puede almacenar en sus tejidos estos metales, transmitiéndonoslos al ingerirla. Lo mismo sucede con los plaguicidas, que se van acumulando en los tejidos vegetales o con las bacterias, hongos, virus, protozoarios (como las amibas) y helmintos (como la solitaria) provenientes de las aguas negras.
Otro gran problema es que México desde hace varios años ha perdido su soberanía alimentaria, término que se asigna a un país cuando importa más del 30% de lo requiere para atender a su población, conllevándolo a una creciente dependencia del extranjero para satisfacer sus necesidades de alimentación. Las fluctuaciones tan constantes de precio y calidad de los vegetales, al igual que el continuo alce de sus precios revelan nuestra enorme dependencia de un mercado con mucho potencial para ser manipulado malintencionadamente y ponen en relieve nuestra fragilidad individual ante cualquier crisis alimenticia, económica y ambiental.
¿Qué es la hidroponía?
Se sabe que ninguna planta se alimenta realmente de tierra o agua como tal, sino de los compuestos químicos contenidos en ellas, como pueden ser nitrógeno, fósforo, calcio, entre otros.
Derivado de este saber, surge la hidroponía, un método de cultivo de vegetales en el que ya no se utiliza la tierra como fuente de nutrimentos para las plantas, sino una solución nutritiva, es decir, sales que contengan elementos como calcio, potasio y magnesio disueltas en agua, pero de manera balanceada y en cantidades específicas para cada cultivo en particular. Se puede emplear o no un medio (sustrato) para proveer soporte mecánico a la planta, como sería el caso de tezontle, fibra de coco, perlita, vermiculita, grava, etc.
Ventajas de la hidroponía
Las verdaderas ventajas de esta técnica de cultivo radican en la nutrición tan controlable y en el uso o no de diversos sustratos para las plantas, no obstante, tan sólo estos dos aspectos presentan alcances muy amplios:
El suministro balanceado de nutrimentos para la planta logra una producción de alimentos con espléndido contenido nutrimental y magníficas propiedades organolépticas (es decir, aromas, colores, texturas, sabores y durabilidad de frutos).
La nutrición vegetal es completamente controlable, pues las plantas siempre tendrán a su alcance todos los nutrimentos que requieran y en las cantidades necesarias, contrario a una composta o a la tierra, que no siempre contendrán cada uno de los minerales ni las cantidades adecuadas para producir un fruto con los mejores índices nutricionales.
Debido a que las fuentes de nutrimentos son sales, no contienen hongos, bacterias, virus, protozoarios, helmintos, metales pesados, ni restos de plaguicidas que posiblemente se podrían encontrar en una composta de origen desconocido, así como en la tierra.
La gran eficiencia en la administración de alimento para la planta permite producir más plantas en menor espacio, evitando la competencia por nutrimentos entre uno y otro vegetal y obtener mayores y mejores frutos en menor tiempo.
Se independiza completamente de la calidad del suelo, consiguiendo producir en zonas donde éste es adverso y además, se libra de la necesidad de rotación de cultivos.
Desventajas de la hidroponía
Las desventajas de la hidroponía son un tanto relativas, por ejemplo, el hecho de tener cultivos hidropónicos no te asegura que el trabajador no haya empleado plaguicidas, que desperdicie agua, que tire basura, etc., todo depende del grado de conciencia y conocimientos del productor. No obstante sí podremos enumerar algunas posibles desventajas:
Un cultivo hidropónico no necesariamente debe de ser caro, todo depende del grado de automatización que se deseé emplear. Sin embargo y por lo general, a escalas comerciales se realiza una alta inversión inicial para sufragar los gastos en sistemas de riego, depósitos de agua, invernaderos, dispositivos para automatización y semillas híbridas de alta producción, inversión completamente recuperable, volviendo a lo mismo: siempre y cuando se llevan buenas prácticas administrativas y financieras.
Si los excedentes de la fertilización no son recuperados, se irán almacenando en el suelo, dañándolo al punto de tornarlo infértil debido a esta elevada acumulación de sales. Actualmente existen sistemas hidropónicos cerrados donde la solución nutritiva excedente es recuperada y luego de restablecerle su composición química, es reutilizada.
Mitos de la hidroponía
Es común que a la hidroponía le atribuyan erróneamente una gran cantidad de cuestiones que no le corresponden a la técnica en sí: un cultivo libre de plaguicidas es responsabilidad del productor y no de la técnica hidropónica, lo mismo que el uso de transgénicos. Si las condiciones climatológicas como la temperatura, humedad y concentración de gases están controladas, no se deben a la hidroponía, pero sí al invernadero o al ambiente controlado en el que se encuentra el cultivo hidropónico. El ahorro o derroche de agua y fertilizantes no es debido a la técnica, sino al buen o mal uso del productor. Ahora podremos comprender que no existen invernaderos hidropónicos, sino cultivos hidropónicos dentro de invernaderos, tampoco semillas hidropónicas. A estas alturas ya conseguiremos inferir que los productos hidropónicos no son orgánicos, pues decir esto es un absurdo, o son hidropónicos o son orgánicos.
Esta técnica ha llegado a ser un tema polémico debido al uso de fertilizantes químicos, sin embargo se sabe que las plantas no discriminan si los nutrimentos provienen de fuentes orgánicas (nutridos con composta) o inorgánicas (nutridos con fertilizantes) . Incluso los nutrimentos presentes en los abonos orgánicos deben de mineralizarse para ser absorbidos por las plantas en sus formas iónicas inorgánicas (fosfatos, nitratos, sulfatos, etc.). Asimismo, la aplicación excesiva de abonos orgánicos puede presentar un riesgo potencial de contaminación de los mantos freáticos con nitratos y de la atmósfera con formas gaseosas de nitrógeno.
Frecuentemente la hidroponía ha sido objeto de una imprudente explotación con fines meramente comerciales por parte de autores que imparten cursos o publican libros o pseudo guías, aprovechándose de la reciente fiebre que ha generado esta técnica. Uno debe de ser cauteloso con las cifras y recetas que citan estos personajes, pues en gran medida estos datos provienen de otros países o de infraestructuras donde las condiciones ambientales, económicas y étnicas son completamente diferentes a las que uno podría brindarle a las plantas, también es muy común que estas personalidades se reserven para sí, descuiden y/o ignoren otros aspectos fundamentales. Todo lo anterior ha conllevado a la frustración a muchas personas que han deseado incursionar en la hidroponía.
Por último, la hidroponía no es la respuesta absoluta para la producción de plantas, simplemente es una técnica más de las muchas que hay. Para mí es fascinante.
Sandoval-Villa, M.; Sánchez-García, P.; y Alcántar-González, G. 2007. Principios de la hidroponía y del fertirriego. Pp. 375-438. In: Alcántar-González, G.; y Trejo-Téllez, L. I. (Eds.). Nutrición de cultivos. Mundi-Prensa, México.
Jensen, M. H.; and Collins, W. L. 1985. Hydroponic vegetable production. Hort. Reviews 7: 483-559.
Acerca del Autor.
Juan Pablo Plata Martín estudió en la Facultad de Ciencias Biológicas de la UAEM y actualmente trabaja en la Unidad de Investigaciones en Hidroponía y Nutrición Vegetal. También imparte clases de Hidroponía, Horticultura y Ciencias.
Queremos extenderles la invitación del grupo "Atzompa de Alzate Siglo XXI" -un grupo de ciudadanos de Ozumba vinculado con otras organizaciones e instituciones en pro de la ciencia y tecnología en comunidades de la zona oriente del Estado de México- a participar en el concurso de fotografía llamado "Divulgación científica en la región de los volcanes".
Para saber más y conocer las bases de participación, pueden descargar la convocatoria aquí y para cualquier duda o comentario, pueden visitar su página de internet en este vínculo.
¡Ojalá se animen a participar y tengan mucha suerte!
El pasado jueves 23 de mayo, el periódico británico The Guardian publicó una nota escrita por Marcus du Satoy, matemático de la Universidad de Oxford en la que se presentaba con una emoción desbordante la teoría matemática de Eric Weinstein, que supuestamente puede contestar los problemas más grandes de la física. Weinstein, físico de formación, es un desconocido para la ciencia, pues lleva 20 años fuera de la academia, durante los cuales no ha publicado artículos, pero ha prestado servicios de consultoría financiera y económica a empresas. La nota de Satoy, también profesor de Entendimiento Público de la Ciencia en Oxford, anunciaba que Weinstein daría una conferencia ese mismo día en esa universidad, en la que presentaría su teoría. Y pedía que el público se sujetaran de sus asientos, porque podía ser “la respuesta” que estábamos esperando.
Las primeras reacciones de los científicos fueron de un escepticismo que pronto dio paso a la irritación. El cosmólogo Andrew Pontzen escribió una nota de opinión en New Scientist en la que cuestionó que no se invitara a ningún físico a la conferencia, tomando en cuenta que había una multitud de ellos literalmente en la sala de al lado escuchando una conferencia de cosmología. Jamás les informaron de la presentación de la nueva teoría de Weinstein, pues ésta se presentó en un foro de divulgación de la ciencia. Pontzen no duda que las ideas de Weinstein sean valiosas, pero le causa comezón que no siguiera los protocolos regulares para presentar las ideas científicas. Weinstein ni siquiera tiene un borrador de escrito para enseñárselo a la comunidad de físicos y matemáticos que serían los más adecuados para evaluarla.
La divulgadora Jennifer Ouellette escribe en su blog, alojado en el sitio de Scientific American, que lo verdaderamente inexplicable es que se le haya dado tanta cobertura a la presentación de la Unidad Geométrica (Geometric Unity, como Weinstein bautizó a su teoría) en The Guardian cuando todavía no estaba presentada ni discutida en la comunidad científica. Ella considera que Du Satoy, el principal promotor de la teoría de Weinstein, quiso crear una historia atractiva y hollywoodense al estilo de Mente indomable (Good Will Hunting). Eso definitivamente atrae la atención de la prensa, pero no suele ser la forma en la que avanza la ciencia.
En un segundo artículo en The Guardian, escrito por el reportero Alok Jha e ingeniosamente titulado “Dele la vuelta a Einstein: conozca a Weinstein” (Roll Over Einstein: Meet Weinstein) se menciona que tres o cuatro matemáticos y físicos ya le han echado un vistazo a las ecuaciones de Weinstein y que no lo consideran ninguna broma ni una cosa menor. Pero esos mismos científicos aclaran que la teoría debe pasar en algún momento por el escrutinio de la comunidad científica y exhortan a Weinstein a que por lo menos presente un borrador en el sitio Arxiv.org, donde se alojan borradores de artículos. El físico Sean M. Carroll comentó en Twitter: “Estoy bastante seguro de que Einstein sí escribió artículos de investigación y no sólo dio entrevistas a la prensa.”
La teoría de Weinstein aspira a ser una teoría de final de todo, una que unifique los dos campos de la física que hasta ahora no se han coinciliado: la mecánica cuántica y la teoría de la relatividad de Einstein. No es el primer físico que lo intenta. La propuesta más cercana se presentó en 2007, por Garrett Lisi, pero resultó arrojar pocas predicciones comprobables, por lo que nunca despegó. La teoría más aceptada hasta ahora es la teoría M, o de supercuerdas, que incluso ahora no se ha aceptado porque las observaciones que predice no se han podido detectar con el grado de confianza adecuado. Dado estos antecedentes, es comprensible el escepticismo de la comunidad científica hacia la teoría de la Unidad Geométrica. Y si a eso se suma la forma tan poco ortodoxa en que salió a la luz, se puede esperar que cada vez se alcen más voces de descontento.
La forma en que la teoría de Weinstein se infló por Du Satoy desde el artículo en The Guardian no puede predecir si será o no correcta. Las voces críticas tampoco atacan ese aspecto de la teoría, precisamente porque ésta no se ha mostrado abiertamente. En esas circunstancias, lo único que podemos esperar es un desenlace dramático y legendario. Si Weinstein está en lo correcto, puede convertirse en la figura más importante de la física de este siglo. Si ha errado, la caída será muy, muy dolorosa.
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No hay artículo original esta vez, porque Weinstein no lo ha escrito. Pero aquí está el anuncio de su conferencia en Oxford.
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Llamada Aurornis xui, es una bestia prehistórica del tamaño de un faisán que ha desafiado la posición protagonista del primer animal con plumas: el Archaeopteryx. El pequeño animal (medía 50 cm del pico a la cola) vivió hace aproximadamente 160 millones de años, 10 millones antes que nuestro querido Archaeopteryx. Cuando los investigadores reconstruyeron el árbol genealógico a partir de animales similares, -utilizando las medidas de sus esqueletos-, esta ave apareció cerca de la base del mismo, más todavía que Archaeopteryx.
Fue llamada Aurornis xui, debido a que marca los primeros días del camino evolutivo que llevó a las aves modernas. Auronis viene de la unión de la palabra latina “aurora”, (conservada en el español) y “ornis”, la palabra griega para pájaro. La segunda parte del nombre, xui, es en honor a Xu Xing, un paleontólogo chino quien en 2011 aseguró que Archaeopteryx no era el ave basal de las modernas.
El animal prehistórico tenía garras y una cola larga, con patas similares a las del Archaeopteryx, pero algunas características de sus huesos eran más “primitivas”. Sus restos descansan en roca sedimentaria, y se preservan huellas de plumas en la cola, el cuello y el pecho del animal; sin embargo, la ausencia de plumas largas sugiere que no volaba.
Los científicos del Yohizou Fossil and Geology Park, en China, compraron los restos a un traficante de fósiles, quien dijo que fueron sustraídos en Lianoning, al nordeste de China, donde estaban en roca que data de entre 153 y 165 millones de años. Este hecho fue confirmado por los autores del artículo. No es raro que los paleontólogos trabajen con traficantes de fósiles, pero esto puede ser un negocio riesgoso. A menos que los expertos puedan confirmar de dónde provienen los fósiles, no es posible calcular su edad.
Pese a esto, Archaeopteryx será recordado porque su descubrimiento, en 1861, probó que las aves modernas evolucionaron de dinosaurios, y fue el primer fósil que argumentó a favor de la teoría de la evolución de Darwin, publicada dos años antes.
Aquí les dejamos el artículo original, y aquí la nota de The Guardian, de donde es la imagen.
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Se te gustabeber grandes cantidades de bebidas carbonatadas (refrescos), te gustaría conocer un estudio de caso recientemente publicado de la revista General Dentistry, en donde se observó que el abuso en el consumo alto estas bebidas, puede causar daños similares a los causados por drogas como la metanfetamina o la cocaína en la boca, mediante el proceso de erosión de los dientes.
Esta erosión ocurre cuando el ácido desgasta el esmalte de los dientes, el cual funciona como la capa protectora superficial del diente. Por lo que sin esta protección del esmalte, los dientes son más susceptibles a desarrollar cavidades, volverse más sensibles, fisurarse y descolorarse.
El caso de estudio se llevó acabo comparando el daño en la boca de; un consumidor de metanfetamina, un consumidor prolongado de cocaína y un consumidor excesivo de bebidas de dieta carbonatadas (2 litros diarios por 3-5 años). Cada participante admitió haber tenido una pobre higiene oral y tener visitas regulares al dentista. Los investigadores encontraron el mismo grado y tipo de daño de erosión dental en cada participante.
“El ácido cítrico presente en los refrescos carbonatados (normales y de dieta) se sabe que tienen un potencial alto para causar la erosión de dientes” comentó Mohamen Bassiouny, quien llevó a cabo la investigación.
Es muy posible que se requiera mayor investigación proveniente de un mayor número de casos de estudio, sin embargo, sus resultados pueden incentivarlos, además de generar una mayor atención al abuso del consumo de estos productos.
Pueden consultar mayor información acerca de salud dental en la página oficial de información del consumidor de la Academia General de Odontología: www.KnowYourTeeth.com
Con esta entrada, Juan de Pedazos de Carbono despide la divertida serie acerca de los números, al menos por ahora. Esta vez nos explica cómo es posible que algunos infinitos sean más grandes que otros.
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Nuestro trayecto ha sido largo, pero espero que hasta el momento les haya parecido también algo interesante y quizá hasta divertido. Desde una noción tan básica cómo el simple acto de contar—contar borregos, contar deudas, contar pedazos de pizza—hemos llegado hasta contar grupos de cosas que nunca se terminan. Así fue como contamos también la historia del Hotel Hilbert, y su interminable cantidad de habitaciones en las que se pueden hospedar no sólo a tantos huéspedes cómo números naturales hay; sino también a una cantidad infinitamente igual de grande de autobuses, cada uno de ellos con su respectiva infinita de pasajeros.
Lo que ocurrió después es, sin embargo, algo que no se puede contar. Yo me estoy arriesgando, de hecho, al compartir esta historia con ustedes. Pues resulta que, a pesar de su tremendo éxito y de su—aparentemente—inagotable capacidad, un día llegó con un reto mucho más difícil de superar para el Hotel Hilbert. Algo que ni las mentes más brillantes de la historia fueron capaces de anticipar.
El protagonista de este suceso fue un personaje con el nombre de Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor. Nacido en la ciudad de St. Petersburgo, desde pequeño se mudó a Fráncfort, Alemania, donde se convirtió en un emprendedor de diversas áreas de matemáticas como la teoría de conjuntos, sus fundamentos teóricos, y—sobre todo—sus aplicaciones para incrementar las ventas en agencias de viajes.
Georg Cantor, un inovador en el mercado de las agencias de viajes
La Agencia de Viajes Cantor se convirtió en su tiempo, de hecho, en una de las más exitosas empresas; ofreciendo sus servicios para llenar infinitas cantidades de autobuses con infinitas cantidades de personas para trasladarlas y hospedarlas en infinitas cantidades de habitaciones en el Hotel Hilbert.
Motivado por su éxito hasta el momento, y buscando expander los horizontes de su empresa, Cantor propuso el diseño y financió la construcción de un nuevo vehículo para pasajeros. Desde su exterior, el Autobús Cantor se parece a un autobús como cualquier otro. Con una parte delantera, donde se sienta el chofer para conducirlo, y una parte trasera, donde se suele colocar una llanta de refracción.
Desde su exterior, el Autobús Cantor parece ser bastante ordinario
Pero es el interior del autobús el que es realmente interesante. En lugar de numerar los asientos comenzando por el uno, luego el dos, etc.; cada uno de la infinidad de asientos en su anterior está identificado por una larga e infinita secuencia de letras. Así es como se ve, por ejemplo, un boleto para subir al autobús:
Los boletos del autobús son, de hecho, infinitamente largos
Se puede abordar al autobús por una gran puerta en la parte central por uno de sus costados, y en su interior se encuentra una gruesa lámina que separa a la parte delantera de la trasera del autobús. Entonces, cada pasajero puede mirar a su—necesariamente—infinitamente largo boleto de entrada, para encontrar la parte del autobús que le corresponde a su asiento. Si la primera es una letra ‘D’, sabe que su asiento se encuentra en la mitad delantera del autobús, y puede entrar a esa sección. Luego el pasajero se encuentra con otra nueva lámina que separa a esta sección en otras dos partes más pequeñas. Ya que la segunda letra de su boleto es una ‘T’, sabe que—dentro de esta sección—su asiento se encuentra en la mitad más cercana a la parte trasera. Y así sucesivamente el pasajero puede ir leyendo las letras que identifican al asiento en la parte delantera o trasera de cada sección hasta que, en el límite, se encontrará justa y precisamente con su asiento asignado.
Así es como buscas tu asiento dentro del Autobús Cantor
Parece una configuración quizá un poco confusa o complicada, pero es bastante conveniente ya que permite acomodar muy bien a las personas dentro del autobús, dándoles además una privacidad total. Aún si tienes dos números de asientos muy parecidos, pero con por lo menos una letra distinta, sabes que esos dos asientos se encuentran—necesariamente—en distintos compartimentos del autobús. Además, desde su primer viaje el esfuerzo de Cantor fue recompensado en creces, pues no tuvo problema en encontrar turistas entusiastas que llenaron por completo el autobús; todos felices y dispuestos a disfrutar de sus vacaciones en el afamado Hotel Hilbert.
“¡Pero qué clase de cantidades infinitas son estas?”, exclamó el recepcionista del hotel al ver arribar una múltiplemente infinita cantidad de caritas sonrientes asomándose por las ventanillas al costado del autobús. El responsable de la agencia de viajes bajó entonces del autobús, y preguntó al aún estupefacto recepcionista del hotel si sería tan amable de asignar, por favor, un número de habitación para cada uno de sus pasajeros.
Múltiplemente infinitas caritas sonrientes se asoman de las ventanillas en el Autobús Cantor
Hecho pomada, y después de una enorme cantidad de intentos fallidos, el recepcionista finalmente produjo lo que—le parecía—era una asignación completa en la que a cada habitación le correspondía uno de los pasajeros en el autobús, sin dejar a persona alguna sin su propia habitación. Para cerciorarse llevó su lista con Hilbert, quien le ayudaría a corroborar que no había cometido ningún error. La lista, de hecho, comenzaba más o menos así:
Así comenzaba una lista asignando un número de habitación a cada pasajero del autobús
Después de analizar la lista por un momento, Hilbert exclamó, “¡Algo esta mal! ¡Hay un pasajero que no encuentro en la lista!”. Entonces explicó que si nos fijamos en la primera letra del pasajero en la primera habitación, una “D”, hay que tener cuidado de no dejar afuera a algún pasajero cuya primera letra sea la “T”. Del mismo modo, si nos fijamos en la segunda letra del pasajero en la segunda habitación, una “T”, hay que tener cuidado de no dejar fuera a alguien que allí tenga una “D”. De este modo, nos podemos fijar en la letra de cada pasajero que corresponde a su número de habitación y, al cambiar “D” por “T” y viceversa, descubrimos a un pasajero que parece escurrirse de nuestra lista:
Hilbert encuentra un pasajero que no tiene habitación asignada
Sabemos que este pasajero no es el asignado a la primera habitación, pues hay por lo menos una letra (la primera) distinta a la del pasajero que ocupa esa habitación. Este pasajero tampoco es el asignado a la segunda habitación, pues hay por lo menos una letra (la segunda) distinta a la del pasajero que ocupa esa habitación. De hecho, ¡este pasajero no está asignado a ninguna habitación! Pues para cualquier número de habitación sabemos que hay una letra (justo esa que coincide con el número de la habitación) que nuestro pasajero olvidado tiene distinta a la del pasajero que sí ocupa esa habitación en cuestión.
Lo más devastador es que, como Hilbert observó después de un momento, ¡no importa cuál sea la lista de asignaciones que genere su recepcionista! Cualquiera que sea la asignación, Hilbert podría siempre usar este mismo ejercicio (invirtiendo cada letra en la diagonal de la lista de pasajeros) para encontrar un pasajero del autobús al que no se le habría asignado un número de habitación en el Hotel.
¡La cantidad infinita de asientos en el Autobús Cantor, es más grande que la cantidad infinita de habitaciones en el Hotel Hilbert!
¡Wow! Si es la primera vez que te encuentras con esta idea, no dudes en repasarla de nuevo con calma para asegurarte de que has entendido y te sientes confortable con lo que aquí ha sucedido. Sobre todo, piensa también en lo que esto significa: ¡Cantor ha demostrado que hay infinitos más grandes que otros!
La cantidad infinita de asientos en el Autobús Cantor es tan fantásticamente grande ¡que ni siquiera se puede contar! No importa que estrategia utilices, si empiezas señalándolos con tu dedo mientras cuentas: “asiento uno”, “asiento dos”, y así sucesivamente; siempre te van a faltar asientos por contar pues ¡los números naturales no son suficientes para contar a todos los asientos!
Y, bueno, si crees que todo este es un cuento absurdo que sólo en un mundo de fantasía podría tener sentido, sólo te propongo que tomes en tus manos una regla y la mires con atención frente a tus ojos. Sí, una simple regla como la que usaste en la primaria y sobre la que, como ya aprendimos, puedes ubicar a los números reales. Ahora imagina que tu regla es un autobús y que—como Cantor ha demostrado—en esa misma regla que sostienes entre tus manos se encuentran, literalmente, una cantidad incontable de números.
¿Cómo acomodar una infinidad de cosas en un espacio infinito? Este miércoles Juan de Pedazos de Carbono nos lo explica y nos cuenta acerca de un hotel que, aunque tenga muchísimos huéspedes, siempre tiene habitaciones disponibles.
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Hace ya un buen rato que iniciamos nuestro recorrido por la tierra de los números, familiarizándonos con especies que parecían tan exóticas como los números negativos, los quebrados, los irracionales e incluso los imaginarios y los complejos. Pero el día de hoy regresaremos a repasar esa idea básica y fundamental de la que se desprenden todos los números: la idea de contar.
¿Qué cosa es contar? Así como humanos hace 50,000 años verificaban la regularidad de los ciclos lunares, contar es la simple acción de relacionar los elementos de un grupo de cosas (puestas de sol, patos o manzanas) con los elementos de otro grupo (las marcas talladas en un hueso, piedras o panqués). Si podemos establecer esta relación entre dos grupos, sin dejar a ningún elemento huérfano ni con más de una pareja, entonces habremos determinado que ambos grupos tienen la misma cantidad de cosas.
Los números surgen entonces como nombres o “etiquetas” que les damos a todas las diferentes cantidades. Por poner un ejemplo sencillo, imaginemos la construcción de un pequeño hotel. Cuando se construye su primer cuarto, al número de habitaciones que tiene le llamamos “uno”. Cuando se construye otra habitación, obtenemos un nuevo número, distinto al anterior, que le llamamos “dos”. Así construímos más habitaciones, y obtenemos números más grandes a los que llamamos “tres”, “cuatro” y, finalmente “cinco”.
Ahora, si en el hotel sólo se admite a una persona por habitación y un día nos encontramos con que todas las habitaciones están llenas, fácilmente podemos concluir que en el hotel deben de haber también “cinco” personas hospedadas. Esto es porque si cada habitación tiene una persona, y cada persona se encuentra asignada a alguna habitación, entonces la cantidad de personas y la cantidad de habitaciones debe de ser la misma. Es bastante sencillo, ¿verdad?
Hay la misma cantidad de habitaciones y de huéspedes: cinco.
Bien, teniendo esta idea en mente, es tiempo de conocer a David Hilbert, un matemático alemán nacido en 1862 que, aparentemente, en su tiempo libre se dedicaba también a la hotelería. (Esto último es broma, pero síganme la corriente.) A Hilbert le molestaba mucho cuando llegaba a un hotel, tarde por la noche y fatigado después de un largo viaje, sólo para descubrir que el hotel estaba lleno y que no habían más habitaciones disponibles. Ésta es la razón por la cual, cansado de que la gente sufriera de esta clase de rechazos y con el apoyo de un gran número de inversionistas, Hilbert construyó un hotel infinito.
“Bienvenidos al Hotel Hilbert”, aseguran los panfletos y folletos con publicidad, “un lugar encantador, un rostro encantador. Muchas habitaciones en el Hotel Hilbert, en cualquier temporada del año, siempre puedes encontrar.” El hotel en sí—a diferencia de su competencia—no era un hotel muy lujoso. Las habitaciones eran sencillas y tenían los servicios básicos: una TV, una cama individual, un pequeño baño. Sin embargo, para realmente poder cumplir con su promesa, el hotel tenía una cantidad infinita de habitaciones, numeradas comenzando por la “uno”, luego la “dos”, luego la “tres”, ... y así, agregando siempre uno más al número de la habitación anterior. Además, igual como le dimos el nombre “cinco” a la cantidad de habitaciones que tenía el hotel pequeño, diremos que la cantidad de habitaciones que tiene el Hotel Hilbert es “omega”.
El Hotel Hilbert tiene omega habitaciones, numeradas comenzando por el uno.
Bueno, pues así pasaron los días, con huéspedes contentos entrando y saliendo del hotel sin nunca preocuparse por si encontrarían alguna habitación disponible. Todo iba perfecto hasta que un día—no me pregunten cómo—el hotel se había llenado por completo. El recepcionista revisaba y confirmaba en los registros que, en efecto, cada habitación estaba registrada al nombre de una persona distinta. Y justo al levantar la vista, todavía un poco incrédulo de la situación, se encontró con que un nuevo huésped caminaba hacia la entrada del Hotel Hilbert.
“¡Oh, no! ¿Pero qué vamos a hacer?”, el recepcionista preocupado llamó inmediatamente a Hilbert para que lo ayudara a resolver la situación. Después de todo, ¿habría que decirle al cliente que no habían ya habitaciones disponibles?
Hilbert escucho las historia del recepcionista, reflexionó por un momento, y finalmente exclamó: “¡No hay ningún problema! Lo único que tenemos que hacer es”, explicó, “pedir a cada huésped que se mueva a la siguiente habitación. El de la habitación 1 se irá a la 2, el de la 2 se irá a la 3, y así sucesivamente. Todos los huéspedes que ya estaban en el hotel seguirán teniendo una habitación y, además, ¡la primera habitación estará vacía para recibir al nuevo huésped!”
Moviendo a cada huésped un lugar a la derecha, se libera la primera habitación
A diferencia de lo que que ocurre cuando tienes un grupo de “cuatro” cosas y le agregas otra para obtener un número diferente, el “cinco”; cuanto tienes “omega” personas registradas en un hotel, y agregas una persona más, la cantidad sigue siendo “omega”. Este es un truco bastante simpático que el recepcionista del hotel pronto aprendió a dominar. ¿Llegan “ocho” huéspedes nuevos al hotel cuando está lleno? ¡No hay problema! Sólo pides a cada huésped que se mueva ocho habitaciones a la derecha, todos siguen teniendo una habitación, y las primeras ocho habitaciones quedan disponibles para los nuevos huéspedes. A “omega” le puedes agregar cualquier otro número (finito), y el resultado sigue siendo “omega”.
Pero el recepcionista no estaba preparado para lo que ocurriría después. La popularidad del Hotel Hilbert fue tan grande, que una agencia de viajes le hizo llegar, ¡un autobús infinito cargado con omega personas!
“¡Diantres!”, pensó el recepcionista, “esto debe de ser realmente imposible, ¡donde voy a meter a tanta gente!” Hilbert, sin embargo, como siempre tomando las cosas con calma, reflexionó por un momento hasta que dio con la solución: “¡Ya lo sé! Hagamos que cada uno de los huéspedes en el hotel se vayan a la habitación cuyo número sea el doble de la habitación en la que se encuentran. Por ejemplo, el de la habitación dos se va a la cuatro; el de la tres se va a la seis. Todos los que tienen ahora una habitación seguirán teniendo una habitación, pero ahora ¡todas las habitaciones impares estarán vacías! Y allí podemos registrar a nuestros omega huéspedes nuevos.” Si a un grupo de omega personas le sumas omega nuevas personas, ¡sigues teniendo omega personas!
Los omega huéspedes anteriores, más los omega huéspedes nuevos, siguen siendo omega
Ahora sí, pensó el recepcionista, con esta nueva receta, no importa cuanta gente llegue, ¡siempre habrán lugares disponibles para ellos! ¿Que llegan cuatro autobuses repletos y cargados con omega personas? ¡Facilísimo! Que cada huésped multiplique su número de habitación por cinco (para ocupar la cinco, diez, quince, ...); dejando las habitaciones uno a cuatro libres para la primera persona de cada autobús, las habitaciones seis a nueve para la segunda persona de cada autobus, y así sucesivamente. Multiplicar cuatro, o diez, o cinco mil, por omega; sigue dando de resultado omega.
Sin embargo, parece que no era momento aún de cantar victoria. El éxito del hotel fue tan grande, que ahora las agencias de viajes les enviaban ¡omega camiones con omega personas en cada uno! “¿Si le digo a cada huésped que multiplique su número de habitación por omega? ¡No! ¡No hay ninguna habitación omega! ¡Los números en las puertas de las habitaciones son siempre finitos!”, el recepcionista intentaba diversas estrategias sin mucho éxito. “Esto es demasiado, de esta sí que no vamos a poder salir.”
Esta vez al mismo Hilbert le tomó algunos segundos descubrir la solución. Hasta que al final, con una sonrisa, enseñó a su recepcionista el siguiente diagrama que le mostraba como acomodar a todos—a los omega huéspedes que ocupaban ya el hotel, y a los omega autobuses con omega huéspedes nuevos cada uno—en el Hotel Hilbert. En la primera fila acomodó a las omega personas que ya están hospedadas, y el resto de las filas tienen a todas las nuevas personas que llegaron en los omega autobuses nuevos. Las flechas indican el orden en que se puede ir asignando un nuevo número de habitación a todo este montonal de gente. Cuando multiplicas omega por omega, ¡sigues obteniendo omega!
... cuando llegan omega autobuses con omega personas cada uno.
Los lectores avispados notarán que, de hecho, esto también demuestra que la cantidad de números quebrados es igual a omega, la cantidad de números “naturales” que hay. Esto es porque a la persona número “a” que viene en el autobús número “b” la puedes imaginar sosteniendo en sus manos un cartel con el quebrado “a entre b”. El diagrama de arriba muestra como asignar a cada quebrado un número natural. Piensen también que los quebrados eran, de hecho, no sólo infinitos “hacia arriba”, sino también “hacia adentro”: entre cualesquiera dos números, siempre existen más y más números quebrados. Piensen en lo fascinante que es eso: a pesar de ser infinitos en “tantos” sentidos, la cantidad de números quebrados sigue siendo omega.
Y bien, después de tanto éxito, parecería ser entonces que finalmente omega es “el número más grande de todos”. Al fin y al cabo omega es infinito y, no importa cuántos huéspedes más puedan llegar, dentro de este número infinito siempre será posible encontrar más y más habitaciones para hospedarlos, ¿o no?
Pues, aunque no se lo crean, resulta que la respuesta a esta pregunta será el tema de la siguiente entrega en nuestra serie. (Lo ven, les dije que esta serie no se quería acabar.)
La estética de los tigres de bengala por sí sola es impresionantemente bella, y sus variantes de pigmentación blanca le agregan una rareza adicional a lo bello. La historia de estos animales comienza en 1500 con el primer reporte de avistamiento, pero su historia moderna inicia en 1951, cuando el maharajá de Rewa encontró y crió a Mohan, un tigre de bengala cachorro que presentaba pigmentación blanca. A partir de entonces y hasta 1980, con el nacimiento en cautiverio del cachorro Orissa en un zoológico de la India, todos los tigres blancos en cautiverio habían nacido a partir de la reproducción endogámica (cruza entre parientes) de Mohan.
Hoy en día sabemos que el gen responsable de la particular pigmentación de los tigres de bengala blancos no es exclusivo de aquellos que se encuentran en cautiverio y es posible encontrarlo en la naturaleza hasta el punto de considerarlo parte de la diversidad genética de la especie. Sin embargo, es raro.
El conocimiento de este gen sólo se había aplicado a la teoría mendeliana para obtener individuos similares. Lo demás había sido un misterio para los investigadores del mundo, pero ahora parece haberse esclarecido gracias a investigadores de la Universidad de Pekín.
El trabajo consistió en mapear el genoma de cada miembro de una familia de tigres compuesta por 16 individuos que presentaban pigmentación blanca y normal. Esto llevó a la identificación de un gen del pigmento, llamado SLC45A2, el cual ya había sido asociado con la coloración clara de los humanos europeos modernos y de otros animales, incluyendo a caballos, pollos y peces. La variante principal encontrada en el tigre blanco produce inhibición de la síntesis de los pigmentos rojos y amarillos, pero tiene poco o nulo efecto en los negros, lo que explica por qué el animal mantiene sus rayas.
Muchas veces se dice que los tigres blancos presentan anormalidades como ojos cruzados y presión alta, pero los investigadores mencionan que dichos males no se deben a efectos del gen, si no que son consecuencias de la crianza endogámica entre los animales.
El último individuo blanco de la especie visto en libertad fue cazado en 1958.
Esta semana Juan de Pedazos de Carbono viene muy bailador y nos enseña unos pasitos de baile, sí sí, en su ya clásica serie de números. Pónganse sus zapatos, escojan su escenario y descubran por qué los números imaginarios nos son tan complicados como lo parecen.
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Hace un par de semanas, en nuestro recorrido donde hemos descubierto toda clase de números, llegamos a encontrarnos con los números “reales”. Estos son todos los números que nos podríamos encontrar si elegimos algún punto al azar dentro de una regla. Sí, una simple regla como la que usábamos en la primaria en las clases de geometría. Nada fuera del otro mundo, ¿verdad?
Pues aunque no lo pareciera, si de conceptos abstractos se trata, el salto que hay que dar de los números quebrados a los números reales es sin lugar a dudas el más complicado de todos. Contrario a lo que la mayoría llegamos a pensar entender a los números imaginarios es mucho más sencillo que eso. El recorrido por los imaginarios es más bien como una danza por el parque, con todo y paisaje para admirar al final del paseo.
Quizá los números “complejos” y los “imaginarios” nos parecen tan poco intuitivos—una fumada, pues—porque sólo nos cuentan el final de la historia y rara vez el principio. Nos dicen que los imaginarios aparecen, así como espíritus o fantasmas, cuando vas y le tratas de sacar la raíz cuadrada a un número negativo. “¡Pero qué coños es la raíz cuadrada de un número negativo? Es más, ¿no habíamos quedado que un número multiplicado por sí mismo siempre tiene que dar positivo? ¡Lo aprendimos hasta con pasitos de Michael Jackson y todo!”
Esto de los números imaginarios es pura fumada matemática, ¿o no?
Si, la verdad es que esa historia no tiene ningún sentido. Por eso mejor los invito a que se olviden de todo lo que creían saber sobre números complejos y, en su lugar, retomemos de nuevo nuestras clases de baile.
Cuando estás en un escenario—o en una pista de baile—tus pasos no están restringidos sólo a la derecha y a la izquierda de la tarima; también puedes dar pasos hacia la parte del frente—donde está tu público aclamándote—y pasos para alejarte hacia atrás, ¿o no? Más aún, combinando estas dos direcciones, puedes dar pasos libremente hacia cualquier lugar del escenario. Por ejemplo puedes dar un pasito pequeño hacia atrás y a la izquierda del escenario, seguido de un paso más largo hacia el frente y la derecha, y seguido de otro paso más... ¡Esto sí es bailar!
¡Un pasito palante María! ¡Un pasito patras!
Después de dar uno y otro paso, la “suma” de todos ellos es—ni más, ni menos—el lugar en el que acabas después de haberlos dado todos. La idea es que, en lugar de dar todos estos pasos bailando de un lado a otro, podrías haber dado un sólo paso que es “la suma” (la flechita verde) y acabar exactamente en el mismo lugar.
¡Pero sumar es para los principiantes! Los bailarines profesionales también hacen giros y piruetas; y uno de los giros más impresionantes de todos es el que haces cuando “elevas” tu posición al cuadrado. Este es un paso un poco más complicado, les advertí que era para profesionales, pero si ponen atención lo pueden aprender también con facilidad.
Primero nos tenemos que poner de acuerdo en el tamaño de un “paso unidad”—puedes dar pasos grandes, y también chiquitos—pero la “unidad” es el tamaño de un paso normal tuyo. Luego lo que tienes que hacer es medir la distancia—en pasos unidades—a la que te encuentras del centro de la pista, así como el ángulo que formas con la pista si comienzas a medir desde la parte derecha. Finalmente para “elevar tu posición al cuadrado” basta dar piruetas hasta que logres elevar al cuadrado tu distancia y duplicar tu ángulo. Suena un poco complicado, pero la verdad es muy fácil, vamos a practicar.
Unas piruetas para elevar al cuadrado tu posición
Este simpático paso de elevar al cuadrado tiene, además, unas propiedades curiosas. Notarás que si te encuentras alejado del centro de la pista—a más de una unidad de distancia—después de las piruetas acabarás aún más lejos, quizá incluso saliéndote de la pista. Mientras que si te encuentras cerca—a menos de un paso—tu distancia se hará más corta. Sólo si estás parado justo a un “paso unidad” de distancia (ya que el cuadrado de “1” sigue siendo “1”) es que te la podrás pasar dando vueltas y vueltas al rededor del centro si sigues elevando tu posición al cuadrado una y otra vez.
Ahora, una vez que has dominado estos dos pasos, podemos empezar a armar una coreografía. Para eso inicias parado justo en el centro del escenario y das tu primer paso inicial, no importa exactamente hacia donde, pero recuerda muy bien el tamaño y la dirección de ese que será el “paso clave”. Y luego la secuencia del baile es muy sencilla: un paso clave, y eleva al cuadrado, otro paso clave, y eleva al cuadrado, otro paso clave, y... Hasta comienza a tener ritmo, ¿verdad?
Si tu “paso clave” consiste en dar exactamente un “paso unidad” hacia al frente, te encontrarás con que estarás repitiendo entonces la siguiente coreografía.
La danza cuando el paso clave es una unidad al frente
Si ensayas lo suficiente, te darás cuenta que algunos pasos clave—como el ejemplo anterior—te pueden mantener danzando y danzando en la pista sin parar. Mientras que otros pasos clave—como el paso de una unidad a la derecha—pronto te harán salir girando fuera de la pista.
Un hombre curioso, de nombre Benoit Mandelbrot y con aparentemente mucha paciencia, se puso a estudiar todas estas coreografías, tratando de distinguir a los pasos claves que te mantienen danzando por siempre—y los coloreó en su mapa con un color negro—de los pasos clave que después de un rato te mandan girando fuera de la pista—y esos los coloreó con diferentes intensidades, según el tiempo que les tomaba escapar de la pista. Lo que Mandelbrot se encontró al practicar estos sencillos pasos de baile—y de verdad que no bromeo, esto es todo lo que tienes que hacer para construir el mapa—es un increíble mundo lleno de infinita belleza, complejidad, y fantasía.
Haz click para “entrar” a la imagen y descubrir un mundo interminable de fantasia.
A lo mejor ahora estás pensando que todo esto es quizá muy bonito pero, ¿qué aplicación puede tener en la realidad? Porque nadie ni nada baila de verdad siguiendo esta tipo de reglas, ¿verdad?
Y podrías pensar eso, pero estarías muy equivocado. Las señales de radio y televisión—y en general cualquier señal eléctrica o magnética—pueden guardar información transformada y escondida en “frecuencias” usando danzas similares a las que acabamos de aprender. Las partículas de los fluidos—como el aire que fluye por arriba y por debajo de las alas de un avión—se pueden estudiar también en términos de “pasos” sobre una superficie para “bailar”. Más aún, partes importantes de la física moderna como relatividad y mecánica cuántica se pueden también describir usando ste tipo de bailes.
Lo único que queda por explicar es la relación que tienen nuestros “pasos de baile” con los dichosos y fumados números “complejos” o con los “imaginarios”. Pero, para eso, ya sólo basta con echar una mirada a nuestro último diagrama:
La parte “real” del paso es la que das a la derecha (o izquierda si es negativa) y la parte “imaginaria” del paso (¿quién le puso ese nombre?) es la que das al frente (o atrás si es negativa)
De tarea se les queda comprobar que si toman un paso completamente imaginario (hacia al frente) y lo “elevan al cuadrado”, lo que obtienen es un paso real pero negativo (hacia la izquierda). Y como la raíz cuadrada es el inverso de elevar al cuadrado, así es como se resuelve todo el gran misterio de los números imaginarios.
Los maestros, a quienes hoy felicitamos en su día, nos enseñaron a medir ciertas longitudes usando nuestra regla. ¿Creen que teniendo una regla gigante con millones de rayitas puedan medir con exactitud cualquier línea recta? Este miércoles, Juan de Pedazos de Carbono nos cuenta si esto es posible.
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En nuestro viaje por las distintas clases de números, hemos creando ya números para contar las cosas que tenemos, números para contar las cosas que debemos, e incluso números contar “pedazos” de cosas que tenemos o debemos también. Y, aunque de pasada lo hemos mencionado un poco, es hora de ir poniendo un poco más de orden entre todo este montón de números que hemos ya descubierto.
Así que para ordenarlos lo que podemos hacer es poner a todos los números en fila, formándolos—así como nos hacían en la primaria antes de entrar a clase—según su tamaño desde los más pequeños hasta los más grandes. El resultado que obtienes al ordenar así a los números seguramente tampoco te causa gran sorpresa, pues se trata de otra conocida compañera de la primaria: la regla.
Así ordenaditos, ¡se ven todos más bonitos! / (Foto Sam Teigen)
Las reglas que usaste en la primaria, sin embargo, lo más probable es que sólo tuvieran un pedacito de toda “la” regla que resulta cuando pones en fila a todos los números que hasta ahora conocemos. Y es que, si vamos poniendo una rayita sobre la regla por cada uno de los números que cuentan piedras: la regla no tendría nunca fin hacia la derecha, siempre puedes ir agregando más y más rayitas para números más y más grandes. Del mismo modo las deudas—que en la regla se pueden poner como rayitas a la izquierda del cero—también pueden ir creciendo sin encontrarse con ningún fin por la izquierda.
Los puntitos indican que la regla no tiene fin a la izquierda ni a la derecha
Ahora, si agregamos también a nuestra regla una rayita por cada uno de los números quebrados, resulta que la regla tampoco tiene fin hacia “adentro”. Y esto es porque si tomas dos rayitas cualesquiera en la regla—como por ejemplo las del “0” y el “1”—siempre podrás encontrar otra rayita situada entre ellas—como por ejemplo la rayita del “1/2”. Igual así entre la rayitas del “1/2” y el “1” estará la del “3/4”; y entre las del “3/4” y el “1/2” está la del “5/8”. Y este mismo proceso lo puedes continuar repitiendo una y otra vez sin encontrar nunca el “final” en el interior de la regla.
Los números quebrados en la regla, tampoco tienen final hacia “adentro”.
Lo que esto quiere decir es que podrías salir con tu regla y ponerte a medir cualquier cosa que se te ocurra—la longitud de una mesa, el perímetro de tu casa, o la altura de tu cuerpo—y siempre encontrarás una rayita que aproxime con toda la precisión que quieras a aquello que estas midiendo. Si la orilla del objeto no coincide exactamente con alguna de las rayitas, siempre podrás encontrar más y más rayitas que aproximen la medida correcta con mayor y mayor precisión. Quizá te veas tentado a suponer que, por lo tanto, siempre habrá alguna rayita en tu regla que coincida precisa y exactamente con la longitud de lo que tratas de medir. Pero no, no lo hagas. Si supusieras esto, te verías terriblemente decepcionado.
Por más increíble que esto pueda parecer, aún después de haber agregado una rayita por cada uno de los números quebrados—todos, todos ellos: los positivos y negativos, los grandes y los chiquitos—aún así te encontrarás con algunas longitudes que nunca podrás medir con absoluta precisión usando tu regla. Hay algunas medidas que, ¡no tienen ninguna razón!, algunas medidas son... umm, ¡completamente irracionales! (La palabra “razón”, curiosamente, significa también el cociente entre dos números; es decir, un número quebrado.)
Y un ejemplo de estas míticas y terriblemente extrañas longitudes que no podemos medir con nuestra regla de números quebrados es: la diagonal de una mesa cuadrada. Así es, toma una mesa cuadrada cuya longitud puedas medir (digamos de 1 metro) y ahora trata de usar esa misma regla para medir la diagonal de la mesa. No importa que tanta precisión tenga tu regla (mili-mili-mili-mili-milímetros), nunca encontrarás una rayita en la regla que coincida exactamente con la medida exacta de la diagonal de la mesa. Aunque hoy no tendremos tiempo para ver una verdadera demostración, inténtenlo, y verán que no les estoy mintiendo. Otra famosa longitud que no podemos medir es la circunferencia de una pizza si es que su diámetro lo hemos podido medir con exactitud.
Ninguna raya que corresponda a un número quebrado va a medir la diagonal de la mesa con exactitud.
Resulta pues, entonces, que nuestra regla—que parecía estar repleta de números por todas direcciones—estaba en realidad también llena de “huecos”, estos incómodos números “irracionales” que simplemente no se dejan medir con precisión usando las rayitas de la regla. ¿Y cómo cuantos números nos faltaban? ¿Qué tantos eran estos números que se nos estaban escurriendo entre los quebrados? ¿Son muchos, sólo unos cuantos? Más y más preguntas interesantes, por lo pronto créanme que los números que nos faltaban eran muchos más de los que pudiéramos contar, pero eso lo dejaremos también para revisarlo de nuevo más adelante.
Por lo pronto imaginemos que, mediante algún truco matemático, logramos encontrar a todos estos números que nos faltan, y los agregamos también a nuestra regla. Lo que habremos obtenido entonces es la regla de todos los números “reales”. ¿Y por qué se llaman “reales”?, te preguntarás. Pues para no confundirlos, por supuesto, con los números “imaginarios” que serán el centro de atención de nuestra próxima entrega en la serie.
Le compartimos la cuarta entrega de la serie acerca de los números. Una vez más, Juan de Pedazos de Carbono nos explica lo que ocurre cuando intentas hacer divisiones entre cero (no, no explota el mundo) y sobre el concepto de infinito (¡lo cual es infinítamente interesante!).
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En el Juego del Ultimátum, dos personas tratan de decidir como repartir entre ellos cierta cantidad de dinero. El primer participante decide la fracción de dinero que le toca a cada uno de los dos, y el segundo de ellos puede decidir aceptar la oferta—de modo que cada quien recibe lo acordado—o rechazarla—en cuyo caso el dinero se pierde y ninguno recibe nada. Y no hay más oportunidades o intentos. Es un Ultimátum. Esas son las reglas del juego.
Supongamos que, por ejemplo, se tienen que repartir $1,000 entre las dos personas. La primera de ellas podría sugerir quedarse con $600 y dejar $400 a la segunda, podría sugerir repartir el dinero en cantidades iguales, o podría incluso sugerir quedarse con $999 y dejar sólo $1 a la segunda persona. Según los ecónomos, la decisión “racional” para la segunda persona debería ser la de aceptar cualquier oferta donde reciba algo de dinero, pues no importa si son $600, $400 o sólo $1; cualquier cantidad es mejor que no recibir nada.
¿Aceptarías cualquier oferta?
Sin embargo, cuando este experimento se lleva a cabo realmente entre personas la teoría es muy distinta a lo que ocurre en la práctica. ¡Por supuesto que no! ¿Me vas a dar $1 mientras tú te quedas con $999? ¡Eso no es justo! La mayoría de las personas estamos más que dispuestos a sacrificar nuestra propia ganancia, con tal de ver también perder su ganancia a aquel que percibimos está siendo injusto y aprovechándose de su situación de ventaja. Más aún, esta no es una propiedad particular de los humanos, en experimentos con monos capuchinos como participantes se observan resultados similares: una tendencia a rechazar ofertas perfectamente váldas, si es que otros están obteniendo una mejor recompensa. Tenemos aversión a la desigualdad.
Y es quizá por esto también que para todos nos parece muy natural e intuitiva la idea de compartir bienes y repartirlos equitativamente en partes iguales. A diferencia de la resta y los “números negativos” que parecían tan extraños y traídos de un mundo de fantasía; difícilmente encontramos un problema en imaginar, por ejemplo, como compartir y repartir cinco panqués recién horneados entre dos personas hambrientas. Todos notamos el pequeño problema que esto supone, las unidades de panqués no se pueden repartir en dos partes iguales, pero también todos descubrimos de inmediato la solución: ¡basta con romper uno de los panqués!
Una forma de dividir cinco panqués entre dos personas
Podríamos decir que cada una de las personas recibe dos panqués y “un medio”. Realizar operaciones básicas con estos nuevos números “quebrados”, tampoco nos supone ningún problema, ya que las mismas ideas que hemos explorado antes se aplican de manera muy natural aún cuando nuestros números tienen “pedacitos” de unidades. La suma de dos números sigue siendo la simple agrupación de las cantidades que representan a ambos; igual que hay deudas de manzanas enteras, podemos quedar en deuda con fracciones de panqués; para calcular los productos podemos seguir aplicando nuestro avanzado método de formar rectángulos con ellos; además, del mismo modo que podemos dividir panqués enteros entre nuestros amigos, podemos también dividir los pedazos en fracciones más pequeñas si nos viéramos en la necesidad.
El producto obtenido al repetir “tres veces” los “dos panqués y un medio”
Sin embargo andar sumando, restando, multiplicando y dividiendo montones de pedacitos de diferentes tamaños, pronto las operaciones se vuelven un poco engorrosas. Afortunadamente, no importa cuantas operaciones realicemos, ni cuantos pedacitos de diferentes tamaños estén involucrados, siempre vamos a poder representar un número “quebrado” usando dos números que estén completos o “enteros”. El primero de ellos indica en cuantas pedazos tienes, mientras que el segundo indica cuando pedazos necesitas para formar una unidad entera.
Los quebrados se pueden escribir más fácil usando varios pedazos del mismo tamaño
Quizá pueda sonar un poco extraño, pero incluso se pueden repartir panqués o pedazos de pizza entre “media persona”. Por ejemplo, si tenemos 5 panqués y los repartimos entre “media persona”, ¿cuántos le tocan a una persona entera? La respuesta, si se lo pueden imaginar, son 10 panqués, pues a cada una de las dos “medias personas” le tocan 5 panqués. En general, podemos obtener el número de panqués a un tercio (o un cuarto, o un quinto, o ...) de persona, simplemente multiplicando el número de personas por tres (o cuatro, o cinco, o ...).
Y, aunque a veces un poco simpático, todo parece más o menos claro e intuitivo cuando se realizan operaciones aritméticas con esta nueva clase de números; todo excepto por esa pregunta incómoda que tarde o temprano se nos atraviesa en el camino: ¿qué es lo que sucede cuando dividimos por cero?
Si tengo cinco panqués y los divido entre cero personas, ¿cuantos panqués le tocan a cada persona? Y no, la respuesta no puede ser cero: si juntas los cero panqués que le repartiste a las cero personas al final no recuperas los cinco panqués con los que empezaste. A diferencia de lo que sucede cuando repartes entre dos o más personas, si juntas de nuevo todas las fracciones repartidas, recuperas la cantidad original exacta. Algunas personas simplemente buscan evitar a toda costa enfrentarse con este problema, y muy dogmáticamente ordenan: nunca dividas entre cero, simplemente no se puede, no tiene sentido.
Al dividir entre cero, algunas computadoras simplemente detienen la ejecución del programa reconociendo que ha existido un error. Algunas regresan como resultado no un número, sino un valor curiosamente llamado “no es un número” simplemente indicando que se ha llevado a cabo una operación que no está bien definida entre la clase de números con la que se está trabajando.
Algunos, un poco más aventureros, no le huyen al problema y tratan de analizarlo más a fondo. Por ejemplo, en lo que todos están más o menos de acuerdo es que cuando divides cero entre cero, lo que obtienes es cualquier número que tu quieras. Puedes decir que cero dividido entre cero es cinco y estar en lo correcto, del mismo modo que cero entre cero es menos dos o es cuatro quintos. Y esto es porque si juntas las cinco partes (o menos dos, o el número que quieras) que le repartiste a cada una de las cero personas, al final recuperas la cantidad original que tenías: cero. Esto es un poco raro, porque hasta ahora el resultado de una operación aritmética había sido siempre un número, ¡no montones de ellos!
Sin embargo el verdadero problema ocurre cuando queremos repartir cierta cantidad (no cero) de cosas entre precisamente cero personas. Entonces el argumento que presentamos en el párrafo anterior deja de funcionar. Alternativamente, una de las respuestas que se suele dar es que al dividir entre cero lo que obtienes es un número “muy, pero muy grande”. La justificación viene del hecho que discutimos sobre lo que ocurre cuando divides entre un número más y más pequeño de personas (un medio, un tercio, un cuarto, ...) que equivale a multiplicar el número original por otro número cada vez más y más grande (por dos, por tres, por cuatro, ...). “Naturalmente”, cuando divides entre el número que tiene la magnitud más pequeña de todas, el cero, ¡debes obtener un número que tiene la magnitud más grande de todas! Sin embargo, desde que aprendimos a contar nos dimos cuenta que ninguno de los números que nos hemos encontrado hasta ahora es “más grande que todos”, y es por esto que tenemos que inventar un nuevo número: el infinito.
Mas aún, los lectores avispados notarán que un argumento similar pero con números negativos nos dirá que el resultado de dividir entre cero también debe de ser un número “muy, pero muy grande, y negativo” y es por eso que debemos introducir también el “menos infinito”. El infinito, no importa que signo tenga, es un concepto tan extraño muchos se resisten a tan sólo llamarle “número”. Y es que, de entrada, parece introducir más preguntas de las que contesta: ¿Qué es lo que sucede cuando sumas infinito más cinco? ¿Cuánto es infinito más infinito? ¿¡Cuanto es infinito multiplicado por infinito!? ¿Se obtiene a caso un infinito más grande?
Estas son montones de preguntas interesantes y que, queda prometido, vamos a abordar también más adelante en nuestra serie. Por lo pronto, sin embargo, nuestro plan continua con otras dos clases de números que nos tenemos que encontrar también: los que no son racionales (sino más bien irracionales), y los que no son reales (sino más bien imaginarios).
Y aunque hoy es 1° de mayo, no se nos olvida que toca la tercera entrega de la serie acerca de los números. Ahora Juan de Pedazos de Carbono nos explica qué pasa cuando uno se queda sin manzanas para comer o cuando uno tiene ganas de bailar como Michael Jackson.
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En los cuentos de Alicia en el país de las maravillas, hay un pasaje que siempre me ha parecido de lo más simpático. En él, Alicia acaba de conocer a la Tortuga Falsa—una especie de tortuga mezclada con partes de vaquilla, con la que se prepara la sopa de tortuga falsa—y al Grifo—una legendaria criatura con el cuerpo de león, pero la cabeza y las alas de águila. La Tortuga Falsa platicaba a Alicia de las cosas que aprendía cuando iba de pequeña en la escuela, cómo por ejemplo los diferentes ramos de la aritmética: “ambición, distracción, feificación e irrisión”.
“¿Y cuántas horas al día tenías tus cursos?” preguntó Alicia, apresurada por cambiar el tema.
“Diez horas el primer día,” contestó la Tortuga Falsa, “nueve al día siguiente, y así”.
“¡Qué plan de estudios tan curioso!” exclamó Alicia.
“Es por eso que los llaman cursos,” anotó el Grifo, “porque se acortan de día en día”.
Esta era una idea realmente nueva para Alicia, y reflexionó un momento antes de hacer su siguiente observación.
“¿Entonces el undécimo día debió ser de vacaciones?”
“Por supuesto que así lo era,” respondió la Tortuga Falsa.
“¿Y cómo se las arreglaban en el duodécimo día?” Alicia continuó entusiasmada.
“Ya es suficiente de hablar sobre cursos,” interrumpió el Grifo en un tono muy decidido, “cuéntale ahora algo sobre juegos.”
Alicia se topó con la idea de lo que ocurre cuando tienes, digamos ahora, tres manzanas (o rocas, u horas de clase), y comienzas a sustraer una a una, por ejemplo comiéndonos una manzana al día. Y todos tenemos una idea bastante clara de lo que ocurrirá eventualmente: se agotarán todas las manzanas. Si recuerdan nuestra lección anterior donde aprendimos a representar números como colecciones de rocas, este es el número de manzanas que tendrás ese día:
El número de manzanas que tendrás el cuarto día
Ok, esto es ya un poco extraño pero, y luego, ¿qué ocurrirá el dia siguiente? ¿cuantas manzanas tendrás después de comerte otra manzana? “¿Cómo que comerme otra manzana? ¿Cuál manzana! ¡Eso es absurdo! ¡Ya no hay manzanas que comer!” Ahora entiendes por qué muy decidido el Grifo se apresuró a cambiar el tema de conversación.
Y si esto te recuerda a algunos de los primeros dolores de cabeza que sufriste en la primaria: no te preocupes, no estás sólo. Aunque para todos es más o menos claro lo que significa no tener ninguna manzana—los Babilonios hace cuatro mil años, por ejemplo, dejaban espacios vacíos para indicar la ausencia de cantidades—la idea de que esa “nada” o “falta de cosas” pueda ser tratada también como un “número” no fue muy bien entendida sino hasta unos mil años después por comerciantes en la India. Fueron ellos también quienes descubrieron, unos doscientos o trescientos años más tarde, que de hecho sí que te puedes comer una manzana aún cuando ya no tienes ninguna en la alacena.
Y no es ninguna coincidencia que hayan sido precisamente comerciantes quienes por primera vez hayan comprendido el uso de estos nuevos y extraños conceptos; pues fueron ellos también los inventores de otra gran idea que parece ser fundamental en la economía de nuestras sociedades modernas: la deuda.
¿Tienes mucha hambre y ninguna manzana para comer? ¡Eso no es ningún problema! Pide a un comerciante que te de una de fiado y luego se la pagas. Las manzanas fiadas, por supuesto, no son de gratis, y por eso el comerciante mantendrá la cuenta de las manzanas que tú le debes a él. Esto es lo que pasaría, entonces, si cada día te sigues comiendo una manzana:
No hay razón para dejar de comer manzanas, ¡incluso después de que estas se te acaban!
Como te lo podrías imaginar, no hay ningún problema con tener y deber cosas al mismo tiempo; de hecho notaras que siempre puedes emparejar e ir cancelando elementos que “tienes” con elementos que “debes” sin cambiar la cantidad total de tus pertenencias. Ahora el concepto del número “vacío”—o “cero” como comúnmente le llamamos—deja de perder su misterio: es el número que obtienes cuando lo que tienes es igual a lo que debes y, por lo tanto, al emparejar los elementos uno a uno se cancelan completamente los “deberes” con los “teneres”.
Diferentes formas de representar al número “cero”.
Además, sumar estos números “comerciantes” es la cosa más sencilla del mundo: simplemente sumas tus “deberes” y tus “teneres” de manera independiente; si te lo place al final puedes también simplificar algunos deberes con teneres pero, por supuesto, esto no es necesario.
La adición de dos números “comerciantes”
Notarás que cada número tiene a su “alter ego”, que es lo que obtienes cuando intercambias el número de lo que debes con el número de lo que tienes. Observarás también que cuando sumas a un número con su propio “gemelo opuesto”, estos se cancelan, produciendo ese número que es ahora ya un muy buen conocido nuestro:
Al sumar un número con su “inverso negativo” da cero
Otro hecho bien conocido es que si simplificas un número lo más que se pueda, cancelando los teneres con los deberes, al final siempre te encontrarás con uno de tres posibles casos: todas las deudas se cancelan, pero no lo que tienes, y terminas con un resultado “positivo”; tienes el balance perfecto y obtienes el número cero; o todo lo que tienes se cancela pero no así tu deuda, terminando con un resultado “negativo” y quizá una preocupación por lo que te falta todavía que pagar.
Pero no todo sobre los números negativos tiene que ser tan, uhm, ¡negativo! El “signo” de los números puede usarse también para indicar la dirección en la que se mueven las cosas. Y la dirección es algo que tienes que tener muy pero muy claro si, por ejemplo, quieres aprender a bailar como Michael Jackson.
Imagina, por ejemplo, que te encuentras de pie justo en el centro del escenario. Empezando con la secuencia más sencilla, si das dos pasos mirando a la parte derecha del escenario al final te vas a encontrar, uhm ... pues ... ¡dos pasos a la derecha del escenario! ¡Esto es muy sencillo!
2 × 1 = 2
Pero también podrías dar “menos dos” pasos o, dicho de otro modo, dos pasos en la dirección opuesta, mirando hacia la parte izquierda del escenario. Al final de esta secuencia estarás ahora dos pasos a la izquierda del escenario.
–2 × 1 = –2
Sin embargo lo que todos estamos ansiosos por aprender es, por supuesto, ¡a hacer el moonwalk! De este modo podemos dar dos “pasos negativos” pero mirando en la dirección positiva, a la derecha, y—curiosamente—acabaríamos en el mismo lugar en el que acabamos cuando hicimos “menos dos” de los pasos normales.
2 × –1 = –2
Y si has puesto atención a nuestra lección de baile, finalmente entenderás por qué en la primaria te machacaron esa idea en la mente de que “negativo” por “negativo” da “positivo”. Pues lo único que tienes que hacer es dar “menos dos” (mirando a la izquierda) “pasos negativos” (estilo moonwalk) para darte cuenta que daría exactamente lo mismo que dar dos pasos normales a la derecha.
–2 × –1 = 2
Bueno, daría casi lo mismo porque, por supuesto, nada puede prender más a tus fans que ¡verte en el escenario dando menos dos pasos negativos!
Seguramente has oído hablar de Robinson Crusoe, o ya de perdida ubicas a Tom Hanks en la película Náufrago o la serie televisiva Lost. En la literatura y en la cultura popular, son bastante comunes las historias desarrolladas a partir de la idea de que una o más personas por “x” razón llegan a una isla “desierta” en la que intentan sobrevivir con lo que encuentran. Unas mejores contadas que otras, pero eso ya cada quien lo decidirá a título personal.
¿A quiénes les tocó ver la serie sesentera (o su repetición en los 90) de la Isla de Gilligan? Las aventuras que tuvieron que pasar los personajes para llegar y sobrevivir en la isla no se comparan con las de aquellos organismos que viajan desde zonas continentales para colonizar islas con muy pocas señales de vida.
Sin embargo, hoy les voy a contar una historia mucho más emocionante y, cómo no, basada en hechos reales. Para nosotros, humanitos, una isla desierta es una isla... sin humanos, pero muy probablemente con vegetación y animales que permiten “nuestra” supervivencia. De otra manera, Defoe nunca hubiera escrito su obra maestra porque Crusoe se le hubiera muerto de hambre en la isla, ni los más viejos leyendo esto nos hubiéramos reído con las aventuras de Gilligan, quien no hubiera sobrevivido y más que una serie cómica sería trágica.
Pero imagínate llegar a una isla en donde casi no hay nada vivo; no hay plantas, ni insectos y, mucho menos, animales para cazar. Sólo rocas, montones de tierra y otras cosas que en la escuela nos enseñan a clasificar como “inertes”. Quizás también bacterias. No más.
Pues hace algunos pocos millones de años, algunos seres vivos se enfrentaron al reto de colonizar unas jóvenes islas en medio del Pacífico, separadas por casi 1000 km de Ecuador, en la costa oeste de Sudamérica (más o menos la misma distancia que existe, por ejemplo, entre Puebla y Mazatlán). Seguro ya adivinaron que estoy hablando de las famosas Islas Galápagos.
Volcanes, el inicio de Galápagos
Erupciones volcánicas en medio del océano fueron el inicio de la fascinante historia detrás de estas islas ecuatorianas. Ahí, en medio del Pacífico, muy cerca de donde hoy están las islas Fernandina e Isabela, hay un llamado punto caliente (o hotspot, en inglés), lo cual significa que es un área de alta actividad volcánica.
Las islas Galápagos se encuentran en el Océano Pacífico, a casi 1000 km de distancia de Ecuador. El punto rojo señalado en la imagen muestra en donde se encuentra el hotspot o punto caliente (alta actividad volcánica). Al haber gran cantidad de magma acumulada en esa zona, poco a poco se forma un montoncito que eventualmente sobrepasa el nivel del mar y se convierte en una isla. Todas las islas que ahí vemos se formaron en la zona de dicho punto rojo, pero por el movimiento de placas tectónicas se han ido recorriendo en dirección a Sudamérica.
Cada que hay una erupción volcánica se libera magma, y cada que esto pasa se acumulan nuevas capas de magma convertida en lava hasta que, un día, ese montón de lava es tan grande que sale de la superficie del agua… y así se forma una isla.
Por el movimiento de placas tectónicas, las islas se mueven, aproximadamente, unos 6 centímetros por año en dirección a Sudamérica. Es por ello que en el mapa de arriba, las islas se ven a la derecha del punto rojo, porque se han ido recorriendo desde su formación. Así que es probable que, algún día, estas islas dejen de serlo y sean parte de la zona continental de Sudamérica, pero para eso falta mucho. Hagan sus cuentas: si ahora pusiéramos a un saltamontes en medio de la ciudad de Puebla y le diéramos chance de avanzar con un saltito 6cm cada año rumbo a Mazatlán. ¿Cuánto se tardaría en llegar?*
Pero fue así, poco a poco, de a miles y miles de años, que se formó (y sigue formándose) el archipiélago Galápagos.
Lanzarse a la aventura y no morir en el intento
Puedes imaginarte entonces que las islas Galápagos no siempre se vieron como ahora se ven. ¿Cómo aquel árido lugar fue poblándose a través del tiempo? Debió ser terriblemente complicado para organismos que habitaban zonas continentales cruzar, en primer lugar, casi 1000 km de océano.
Pero algunos pocos lo lograron. En Galápagos, los casos exitosos incluyen algunos reptiles, pájaros, invertebrados y unos pocos mamíferos.
La llegada de los pájaros es quizás la más sencilla de explicar. La fuerza de sus alas facilitó su llegada. El viento pudo haber traído a Galápagos también insectos muy pequeños o huevos o larvas de insectos más grandes, así como semillas de plantas continentales.
Los albatros de Galápagos son capaces de volar largas distancias sin parar. La capacidad de vuelo de los ancestros de estas aves les facilitó el viaje y la llegada a Galápagos, aunque tal vez no empezaron a considerarlo su hogar hasta que encontraron las condiciones adecuadas para ahí reproducirse.
Otros, más gustosos por los deportes extremos, llegaron por “rafting”, es decir, subidos en troncos. En Sudamérica, las fuertes lluvias pueden arrancar árboles con raíces no muy arraigadas al suelo y los troncos fueron quizás utilizados como medios de transporte para cruzar el océano. Eso sí, son viajes muy difíciles. Entre los que probablemente llegaron a la isla de esa manera están algunos invertebrados y reptiles como iguanas o serpientes, que pueden aguantar mucho tiempo sin agua o comida. No es el caso de los anfibios, que necesitan agua dulce para producir la capa de mucosidad que protege su piel. Hoy en día, sí hay ranas en algunas de estas islas, pero ésas fueron traídas por humanos. Es claro que los propios humanos y otros animales, como patos o gaviotas, pudieron haber sido otro medio de transporte.
Es importante entender que quizás no todos llegaron al mismo tiempo y hacer una reconstrucción de cómo las islas se fueron poblando no es fácil, pero quizás con más estudios de la región podamos comprenderlo mejor. Seguramente la llegada de unos facilitó la posterior llegada y estancia de otros. Vale la pena mencionar, también, que ninguno de estos viajes fueron emprendidos con la intención de llegar a la isla; fueron más bien el resultado accidental de diversas situaciones que enfrentaron estos animales mientras luchaban por sobrevivir.
En fin, cualquier que haya sido el modo y la fecha del viaje, algunos hábiles seres vivos lo lograron, pero no muchos y se puede decir que por ello, la biodiversidad de Galápagos es limitada, pero eso sí, sumamente interesante.
¿Y qué hay para cenar?
Pero una cosa es llegar y otra sobrevivir en un ambiente totalmente diferente del que vinieron. Como en muchas otras islas, la comida no es tan fácil de conseguir: hay bastante menos plantas y animales que en zonas continentales. Pero en esa lucha por la supervivencia, algunas especies evolucionaron nuevos hábitos de alimentación muy particulares.
Mi ejemplo favorito es el de las iguanas marinas en Galápagos, las únicas de su tipo conocidas en este planeta. ¿En qué otro lugar uno puede ver una escena tan impresionante como lo es las iguanas dándose un clavado al agua para buscar su alimento: algas en el fondo del océano? Pero esta curiosa adaptación no la lograron solas. ¿Sabes quiénes les hacen la chamba digestiva tan demandante que requiere el ingerir algas? ¡Unas bacterias que viven en su estómago! De hecho, después de comer, estas iguanas se tumban al sol, lo cual también beneficia a sus bacterias intestinales, que requieren calor para poder digerir el alimento de su huésped.
Las iguanas marinas de Galápagos evolucionaron una dieta muy particular.
Al igual que estas iguanas, muchos organismos en Galápagos evolucionaron hábitos alimenticios y costumbres poco convencionales que les han permitido habitar estas islas. Otro interesante caso es el de los pinzones vampiros que, con pequeños piquetes, obtienen sangre de otra ave, el alcatraz patiazul.
Así que ya sabes, las aventuras de Robinson Crusoe, de Gilligan, de Chuck (Tom Hanks en Náufrago) y de los personajes de Lost, se quedan cortas frente a lo que muchos organismos han tenido que pasar para colonizar islas lejanas y mayormente desiertas.
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*Respuesta al problema del saltamontes: Si le diéramos chance de avanzar 6 cm por año para llegar de Puebla a Mazatlán, tardaría alrededor de 16 millones de años, pero seguro se nos muere antes. En realidad, fue un muy mal ejemplo, porque los saltamontes no llegan ni al año de vida (en su etapa adulta, viven en promedio un mes), pero es para que vean lo diferentes que son los tiempos biológicos de los geológicos. Ah, ¿verdad?
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Bibliografía, recomendaciones y agradecimientos
Esta entrada fue inspirada a partir de una visita al Museo de Zoología de la Universidad de Zúrich, en Suiza, en donde desde diciembre del año pasado y hasta septiembre de 2013 está montada una exhibición de las Islas Galápagos, muy recomendable para los que anden o visiten estos rumbos. Aquí una reseña que escribí en inglés para aquellos interesados.
Gracias a Lukas Keller, profesor de la universidad de Zúrich, biólogo evolutivo y director del museo, quien me concedió una entrevista relacionada con dicha exposición, pero gracias a la cual también aprendí muchas cosas del archipiélago.
Una de mis fuentes principales fue precisamente la guía a la exhibición del museo, escrita por L. Keller, M. Haffner, U. Koller y H. Hoeck el año pasado. La guía se consigue en el museo en inglés y en alemán. Aún será difícil conseguirla en México, pero si a alguien le interesa mucho, dejen un comentario abajito exponiendo su interés. Más que una guía a la exhibición, es un excelente material para entender muchos aspectos de las islas Galápagos.
Alejandra Manjarrez es bióloga egresada de la UNAM actualmente trabajando en el Instituto de Biología Evolutiva y Estudios Ambientales de la Universidad de Zúrich, en Suiza. Y, como tal vez ya lo notaron, está perdidamente enamorada de las iguanas marinas de Galápagos.
Imagina una noche en un bosque, tú al lado de una cabaña, rodeado de gente agradable, fogata, salchichas, bombones y un grupo de científicos contándote historias con la Vía Láctea visible en el cielo oscuro del Observatorio Astronómico Nacional, en San Pedro Mártir, Baja California. ¿Te gusta la escena?
Ése es sólo un pequeño ejemplo de lo que puede vivir un joven en el Taller de Ciencia Para Jóvenes organizado por el Centro de Investigación Científica y de Educación Superior de Ensenada (CICESE), del Instituto de Astronomía y el Centro de Nanociencias y Nanotecnología de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM), así como de la Universidad Autónoma de Baja California (UABC). Durante una semana, los investigadores invitan a los jóvenes de bachillerato a la ciudad de Ensenada a interactuar con ellos, conocer sus actividades y experimentar con temas muy diversos.
No todos hemos tenido la oportunidad de conocer de cerca cómo es la vida y el trabajo de un científico desde la juventud, es por eso que éste junto con otros espacios, son de gran relevancia para tener una perspectiva más amplia de la labor científica en México. El taller es completamente gratuito, todos los gastos (hospedaje, transporte y seguro de gastos médicos) corren por parte de las instituciones participantes, por lo que lo único que se requiere es tener ganas de vivir una gran experiencia.
Si eres o conoces a un joven de bachillerato, no dejes que se desaproveche esta oportunidad y comparte la convocatoria:
Si aún te queda duda de qué actividades encontrarás, te invitamos a que veas el video al inicio de esta entrada. Es una probadita de lo que podrás vivir.
2013 es un año de decaniversarios para quienes trabajamos en esto de la biología molecular, el ADN y la genética humana. Hace 60 años en 1953 en un pequeño y ahora famoso bar de Cambridge, Inglaterra (The Eagle), James Watson y Francis Crick elucidaron la estructura del ácido desoxirribonucléico (ADN) después de haber visitado el laboratorio de Maurice Wilkins y visto la famosa fotografía 51 de rayos X de Rosalind Franklin y Raymond Gosling. En abril de ese año, tres artículos en la revista Nature reportaron estos resultados y con ello establecieron un parteaguas en la biología molecular. Gran cantidad de avances y conocimiento basados en la estructura de esta magnífica molécula sobrevinieron en las siguientes décadas. Las técnicas, métodos y tecnologías para secuenciar ADN desarrolladas en los años subsiguientes fueron esenciales para el siguiente gran paso, la secuenciación de la totalidad del ADN o genoma de un organismo.
En la década de los 80 se comenzaron a secuenciar los primeros organismos de genomas pequeños: primero de virus, después de bacterias y más tarde el de la levadura. En la segunda mitad de esta década y debido al éxito obtenido al secuenciar genomas completos de los primeros organismos, comenzaron una serie de pláticas y reuniones donde investigadores debatían sobre la posibilidad de secuenciar el Genoma Humano. Para 1990, se tomó la decisión de realizar el proyecto, a pesar de opiniones dividas entre aquellos que lo apoyaban en pro del conocimiento y con la visión de que esta información cambiaría el futuro de la medicina y aquellos un poco más pesimistas o consevadores que pensaban que no sabríamos que hacer con él una vez que lo tuvieramos y que la información no iba a ser tan útil. Las siguientes reuniones y debates se enfocaron más en el cómo hacerlo y entre varias otras cosas, se llegaron a conclusiones y acuerdos que han marcado desde entonces mucho del desarrollo del Proyecto Genoma Humano (PGH) y derivados de él. Se decidió que un proyecto de tales dimensiones era demasiado grande, costoso e importante como para ser realizado por un sólo país o institución; por lo que se integró el Consorcio Internacional de Sequenciación del Proyecto Genoma Humano, donde instituciones de todo el mundo que quisieran y tuvieran la capacidad técnica y tecnológica podían unirse y secuenciar parte del Genoma Humano. Veinte instituciones de seis países formaron parte del Consorcio, pero desde su inicio el campo de la genómica humana ha sido una colaboración internacional. Otra de las decisiones a las que se llegó en las denominadas “Reuniones de Bermuda” fue que la información generada por un proyecto de tal calibre debería beneficiar a la comunidad científica internacional y a la humanidad en general, por lo que se decidió liberar la información y hacerla pública y de libre acceso. En las cuestiones más técnicas, se decidió primero hacer un mapa inicial del genoma humano para después poderlo utilizar para ensamblar las millones de letras de la secuencia así como secuenciar genomas más grandes de organismos modelos, como la rata y el ratón, para probar y establecer los protocolos a usar para secuenciar el genoma humano.
La historia continúa con la competencia entre el proyecto público del consorcio internacional y una empresa privada que quería patentar el genoma humano; a esta novela de intriga y misterio se le conoció como la “carrera por el genoma humano”. Pero para no hacer el cuento muy largo, el 26 de junio de 2000, el entonces presidente de Estados Unidos, Bill Clinton anunció en una conferencia de prensa en la Casa Blanca “el desciframiento de la secuencia del Genoma Humano”. En Febrero de 2001 el Consorcio Internacional publicó en la revista Nature el primer borrador de la secuencia completa del Genoma Humano; la empresa privada también publicó al mismo tiempo su secuencia en la revista Science. Dos años después, en 2003 se anunció el término del PGH con la subsiguiente publicación en 2004 de la secuencia “terminada” del Genoma Humano. Éste ha sido uno de los logros científicos más importantes de nuestro siglo XXI, dando inicio a toda una nueva era en la genética humana y marcando el inicio de la genómica humana.
Lo que se denominó hace 10 años como el “Genoma Humano”, es en realidad un ensamble de la secuencia “promedio” de los 24 cromosomas humanos derivada de varias personas que donaron su ADN para ser secuenciado por el PGH, esto con la finalidad de hacer el proyecto un poco más representativo y también para proteger la identidad de los donadores y evitar que ninguna persona específica pudiera ser identificada por su secuencia de ADN (aunque ahora sabemos que la mayor parte de la secuencia deriva de un individuo afroamericano).
Diez años después, si bien tanto como los escritores y las películas de ciencia ficción de los años 70 y 80 imaginaban que para el 2013 estaríamos piloteando autos voladores, habría una colonia humana en la luna y nos teletransportaríamos a cualquier lugar; las proyecciones que el Proyecto Genoma Humano tuvo originalmente no han sido tan despampanantes como algunos imaginaban, pero sin duda alguna el proyecto ha cambiado de forma evidente la ciencia y la medicina moderna. “Vamos lento, pero seguro” dirían nuestros abuelitos, pero en el caso de la genómica humana aunque parezca “lento” el impacto y los avances que el PGH ha tenido en esta última década, parecerían saltos gigantescos a los geneticistas de hace 50 años. Vivimos ahora en la era de la genómica no sólo humana, sino personalizada. Hace 10 años, al final del PGH, costaba 3 billones de dólares secuenciar un sólo genoma humano; hoy en día cuesta aproximadamente 20,000 dólares secuenciar el genoma completo de una persona. Actualmente secuenciamos cientos, si no miles de exomas (la parte de los genes únicamente del genoma), en diferentes centros de secuenciación en todo el mundo. ¡Hoy en día tenemos muchos genomas humanos! Todavía queda tanto por descubrir sobre esa pequeña molécula que vive en cada una de nuestras células y que en su combinación de millones de letras guarda el secreto e historia de nuestra especie y las características específicas de cada uno de los individuos de la especie humana que habita en este planeta. ¡Vivimos en una época realmente emocionante para aprender sobre el Genoma Humano!
Acerca del autor:
Claudia Gonzaga-Jáuregui es Licenciada Ciencias Genómicas (UNAM) y Doctora en Genética Humana y Molecular en el Baylor College of Medicine de Houston, Texas, institución en la que actualmente realiza su postdoctorado.
¡Hoy es miércoles! Así que traemos para ustedes la segunda entrega de la serie acerca de los números. Esta vez Juan de Pedazos de Carbono nos cuenta cómo formar rectángulos usando grupos de rocas. ¿Creen que es muy simple?
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En la entrega anterior sobre el origen de los números revivimos ese momento clave en que se nos ocurrió aquella terriblemente simple pero fundamental idea: podemos formar un grupo o colección de cosas—días, borregos, piedras o marcas talladas en un hueso—y contar su cantidad de elementos al compararlo con algún otro grupo de las mismas o de distintas cosas.
Formar grupos de cosas y compararlos es, de hecho, de lo que se tratan esencialmente todas las matemáticas. Si tienes una colección de rocas, digamos, esa colección representa a un ‘número’. Y cualquier otro grupo, digamos de... umm... ¡patos!, que al compararlo encontremos una correspondencia uno a uno con los elementos del original, sabemos que se trata en realidad del mismo ‘número’.
Un par de números iguales
Pronto nos damos cuenta de que si empezamos con quizá el número más simple de todos—que por alguna razón decidimos llamerle “uno”—podemos ir construyendo números más y más grandes agregando simplemente “uno más” al grupo que teníamos ya antes.
Uno, y luego uno más, y luego otro más, y luego ...
Todos estos números son distintos entre sí. Si queremos tratar de emparejar a un grupo cualquiera de rocas con otro, siempre nos encontraremos con que faltan o sobran rocas que no tienen pareja. Y extraña pero fascinantemente, nos damos también pronto cuenta de que, ¡los números no tienen fin! No importa qué número puedas tener en tus manos o imaginar en tu mente, siempre puedes construir un número más grande con tan sólo agregar “uno más” al que ya tenías.
Además, jugando un poco con los números, nos encontramos con que algunos de ellos tienen propiedades muy simpáticas. Por ejemplo, cierta clase de números se pueden acomodar muy fácilmente en filas formando “pares”, mientras que otros—un poco más extraños—les va a sobrar siempre una piedrita “impar”.
Además nos encontramos con que al tratar de juntar y “sumar” dos números impares, las piedras que quedaban sueltas ahora se “emparejan” y el resultado de la suma es siempre un número par. Lo mismo sucede con dos números pares que, sumados, siguen produciendo siempre un par. Pero al sumar un par con un impar, se quedará siempre una pobre piedrita dispareja dando un resultado impar.
Si acomodar números en pares de filas te está pareciendo un poco aburrido y casi como material de kinder, déjame asegurarte que hay otras operaciones mucho pero mucho más complicadas que se pueden hacer con los números. Otra cosa que podemos hacer es, por ejemplo, armar rectángulos.
Un rectángulo es la figura que resulta como el producto de cierto número de filas “por” cierto número de columnas. A algunos les gusta pensar que lo que haces es repetir una fila “cierto número de veces” pero, si te gusta llevar la contraria, también puedes imaginar que lo que haces es repetir una columna varias veces.
De entre los rectángulos, cierta clase de números que resultan ser bastante útiles e importantes son los “cuadrados” que, como su nombre lo sugiere, tienen el mismo número de filas y de columnas. Algo que quizá no sabías es que todos los cuadrados se pueden obtener también siempre como la suma de varios números impares consecutivos. Y, si no me lo crees, basta con echar un ojo a la siguiente simple y elegante demostración matemática.
Pero si lo que tú estás buscando es un verdadero reto, hay un problema que incluso a la fecha continua desafiando a científicos y matemáticos. Como acabamos de ver, muchos de los números se pueden acomodar como rectángulos “compuestos” de varias filas y columnas. Sin embargo hay cierta clase de números caprichosos que se creen los muy “primo uomo” y—sin importar cómo ni cuanto lo intentes—nunca los podrás acomodar como un rectángulo con más de una fila y más de una columna.
El problema que aún no sabemos cómo resolver de manera rápida y efectiva es, si te doy un número cualquiera, determinar si ese número se puede o no se puede acomodar como un rectángulo compuesto de varias filas y columnas. De hecho, los métodos que usamos para enviar información de manera ‘segura’ por internet, funcionan precisamente bajo el supuesto de que éste es un problema muy pero muy difícil. Si lograras descubrir un método para acomodar números muy grandes como rectángulos, no sólo te harías increíblemente famoso, sino que tendrías a tu merced a toda la industria moderna que basa su seguridad en este principio.
¡Y tu que creíste que estaba bromeando cuando dije que acomodar números en rectángulos era una operación mucho pero mucho más complicada!
El agua contiene propiedades físicas y químicas asombrosas. Y uno, al verla día con día, pensaría que sabemos casi todo de ella. Sin embargo, mediante una simulación realizada en agua “súper congelada”, un equipo de investigadores de la Universidad de Arkansas, liderados por Feng Wang, confirmó una fase de transición de “líquido-líquido” a 207° Kelvin, o lo que es igual, a -66°C.![Cada grupo de dinosaurios estaba especializado en alimentarse de un tipo de planta [Créditos: Julius T. Csotonyi, un impresionante paleo-artista con una gran pasión por los dinosaurios. ¡Aquí está su página:http://www.csotonyi.com/!]](http://static1.squarespace.com/static/59057732b3db2ba7ea01fbb3/590978153f4058298d33edb4/590978a23f4058298d340e5f/1493792930719/dinosaurs2.jpg?format=original)
La estética de los tigres de bengala por sí sola es impresionantemente bella, y sus variantes de pigmentación blanca le agregan una rareza adicional a lo bello. La historia de estos animales comienza en 1500 con el primer reporte de avistamiento, pero su historia moderna inicia en 1951, cuando el maharajá de Rewa encontró y crió a Mohan, un tigre de bengala cachorro que presentaba pigmentación blanca. A partir de entonces y hasta 1980, con el nacimiento en cautiverio del cachorro Orissa en un zoológico de la India, todos los tigres blancos en cautiverio habían nacido a partir de la reproducción endogámica (cruza entre parientes) de Mohan.
